1. Stwierdzenie problemu: Mamy trójkąt $XYZ$ o polu $S$. Na boku $XY$ wybrano punkt $P$ tak, że $\frac{|XP|}{|PY|}=q>0$. Przez $P$ poprowadzono prostą równoległą do $YZ$, przecinającą $XZ$ w $Q$. Następnie przez $Q$ poprowadzono prostą równoległą do $XY$, przecinającą $YZ$ w $R$. Należy znaleźć wartość $q$, dla której pole trójkąta $XPR$ jest równe polu równoległoboku $PQRY$. 2. Wzory i zasady: - Pole trójkąta można wyrazić jako $S = \frac{1}{2} \times \text{podstawa} \times \text{wysokość}$. - Proste równoległe tworzą podobne trójkąty i równoległoboki, co pozwala na wyrażenie pól przez proporcje długości. 3. Oznaczmy długość boku $XY$ jako $|XY|=a$. Punkt $P$ dzieli $XY$ na odcinki $|XP|=\frac{q}{q+1}a$ i $|PY|=\frac{1}{q+1}a$. 4. Ponieważ $PQ \parallel YZ$, trójkąty $XPZ$ i $XQZ$ są podobne, a więc stosunek długości $|XQ|$ do $|XZ|$ jest równy stosunkowi $|XP|$ do $|XY|$, czyli $\frac{|XQ|}{|XZ|} = \frac{q}{q+1}$. 5. Ponieważ $QR \parallel XY$, czworokąt $PQRY$ jest równoległobokiem. 6. Obliczmy pole trójkąta $XPR$: - Podstawa to $|XP| = \frac{q}{q+1}a$. - Wysokość jest równa wysokości trójkąta $XYZ$ pomnożonej przez $\frac{q}{q+1}$ (ze względu na podobieństwo i równoległość). Zatem $$ \text{pole}(XPR) = \frac{1}{2} \times \frac{q}{q+1}a \times h \times \frac{q}{q+1} = \frac{1}{2} a h \left(\frac{q}{q+1}\right)^2 $$ 7. Pole równoległoboku $PQRY$ jest równe iloczynowi podstawy $|PY| = \frac{1}{q+1}a$ i wysokości $h \times \frac{q}{q+1}$ (wysokość odpowiada odległości między równoległymi liniami): $$ \text{pole}(PQRY) = \frac{1}{q+1}a \times h \times \frac{q}{q+1} = a h \frac{q}{(q+1)^2} $$ 8. Równanie pola trójkąta $XPR$ równego polu równoległoboku $PQRY$: $$ \frac{1}{2} a h \left(\frac{q}{q+1}\right)^2 = a h \frac{q}{(q+1)^2} $$ 9. Skracamy $a h$ i mnożymy obie strony przez $(q+1)^2$: $$ \frac{1}{2} q^2 = q $$ 10. Rozwiązujemy równanie: $$ \frac{1}{2} q^2 - q = 0 \\ q \left(\frac{1}{2} q - 1\right) = 0 $$ 11. Rozwiązania to $q=0$ (odrzucone, bo $q>0$) lub $\frac{1}{2} q - 1 = 0$, czyli $$ q = 2 $$ Odpowiedź: Wartość $q$, dla której pole trójkąta $XPR$ jest równe polu równoległoboku $PQRY$, to $\boxed{2}$.