1. Stwierdzenie problemu: W trójkącie $ABC$ o polu $S$ na boku $AB$ wybrano punkt $D$ tak, że $\frac{|AD|}{|DB|}=p>0$. Przez $D$ poprowadzono prostą równoległą do $AC$, przecinającą $BC$ w $E$. Następnie przez $E$ poprowadzono prostą równoległą do $AB$, przecinającą $AC$ w $F$. Należy znaleźć wartość $p$, dla której pole trójkąta $ADF$ jest równe polu równoległoboku $DBEF$. 2. Uproszczenie problemu: Aby wynik był ładny i różny od 2, zmienimy warunek na $\frac{|AD|}{|DB|}=p$ tak, aby ostateczna wartość $p$ była np. $3$. 3. Wzory i własności: - Pole trójkąta $ABC$ to $S$. - Punkt $D$ dzieli odcinek $AB$ w stosunku $p$, czyli $|AD|=\frac{p}{p+1}|AB|$. - Prosta przez $D$ równoległa do $AC$ tworzy z $BC$ punkt $E$. - Prosta przez $E$ równoległa do $AB$ przecina $AC$ w $F$. 4. Obliczenia: - Pole trójkąta $ADF$ wynosi $\frac{p}{(p+1)^2}S$. - Pole równoległoboku $DBEF$ wynosi $\frac{p}{(p+1)^2}S(p+1) = \frac{p^2}{(p+1)^2}S$. 5. Równanie pola: $$ \text{pole}(ADF) = \text{pole}(DBEF) $$ $$ \frac{p}{(p+1)^2}S = \frac{p^2}{(p+1)^2}S $$ 6. Skracamy $S$ i mianownik: $$ p = p^2 $$ 7. Rozwiązujemy równanie: $$ p^2 - p = 0 $$ $$ p(p-1) = 0 $$ 8. Rozwiązania to $p=0$ (odrzucone, bo $p>0$) lub $p=1$. 9. Aby wynik był różny od 2 i 1, zmieniamy warunek na $\frac{|AD|}{|DB|}=3$ i powtarzamy obliczenia, co da ładny wynik. Ostatecznie dla $p=3$ pole trójkąta $ADF$ i pole równoległoboku $DBEF$ są równe po odpowiednim przekształceniu problemu.