1. Stwierdźmy problem: W trójkącie $ABC$ o polu $S$ na boku $AB$ wybrano punkt $D$ taki, że $|AD|=\frac{p}{p+1}|AB|$, gdzie $p>0$. Przez $D$ poprowadzono prostą równoległą do $AC$, przecinającą $BC$ w $E$. Następnie przez $E$ poprowadzono prostą równoległą do $AB$, przecinającą $AC$ w $F$. Należy znaleźć wartość $p$, dla której pole trójkąta $ADF$ jest równe polu równoległoboku $DBEF$. 2. Zauważmy, że $DE \parallel AC$ oraz $EF \parallel AB$. Oznacza to, że $DBEF$ jest równoległobokiem, ponieważ ma dwie pary boków równoległych. 3. Ustalmy oznaczenia: niech $|AB|=b$, $|AC|=c$, a pole trójkąta $ABC$ to $S$. 4. Punkt $D$ dzieli odcinek $AB$ w stosunku $p:(1)$, czyli $|AD|=\frac{p}{p+1}b$. 5. Ponieważ $DE \parallel AC$, to trójkąty $DBE$ i $ABC$ są podobne z powodu kątów równych (kąty odpowiadające). 6. Z podobieństwa wynika, że $\frac{|DB|}{|AB|} = \frac{|BE|}{|BC|} = \frac{|DE|}{|AC|}$. Ponieważ $D$ leży na $AB$, $|DB|=|AB|-|AD|=b - \frac{p}{p+1}b = \frac{1}{p+1}b$. 7. Zatem skala podobieństwa to $\frac{1}{p+1}$. 8. Pole trójkąta $DBE$ jest zatem równe $S \cdot \left(\frac{1}{p+1}\right)^2 = \frac{S}{(p+1)^2}$. 9. Punkt $E$ leży na $BC$, a przez $E$ poprowadzono prostą równoległą do $AB$, która przecina $AC$ w $F$. 10. Trójkąt $ADF$ jest podobny do trójkąta $ABC$ (bo $DF \parallel BC$), a jego skala liniowa jest równa $\frac{p}{p+1} + \frac{1}{p+1} = 1$? Sprawdźmy dokładniej. 11. Współrzędne punktów (dla ułatwienia): - $A=(0,0)$, - $B=(b,0)$, - $C=(0,h)$, gdzie $h$ to wysokość z $A$ na $BC$, więc $S=\frac{1}{2}bh$. 12. Punkt $D$ na $AB$ to $D=\left(\frac{p}{p+1}b,0\right)$. 13. Prosta $AC$ ma równanie $y = -\frac{h}{b}x + h$ (sprawdźmy: $A=(0,0)$, $C=(0,h)$, ale $C$ jest na osi $y$, więc $AC$ to linia od $(0,0)$ do $(0,h)$, czyli pionowa? Nie, $C=(0,h)$, $A=(0,0)$, więc $AC$ to linia pionowa na $x=0$. 14. W takim razie $AC$ jest pionowa, więc $DE \parallel AC$ oznacza, że $DE$ jest pionowa. 15. Punkt $D$ ma $x=\frac{p}{p+1}b$, więc prosta pionowa przez $D$ to $x=\frac{p}{p+1}b$. 16. Punkt $E$ jest przecięciem prostej $x=\frac{p}{p+1}b$ z $BC$. 17. Równanie $BC$: $B=(b,0)$, $C=(0,h)$, więc nachylenie to $m = \frac{h-0}{0-b} = -\frac{h}{b}$. 18. Równanie $BC$: $y = -\frac{h}{b}x + h$. 19. Podstawiamy $x=\frac{p}{p+1}b$ do równania $BC$: $$ y_E = -\frac{h}{b} \cdot \frac{p}{p+1}b + h = -\frac{h p}{p+1} + h = h \left(1 - \frac{p}{p+1}\right) = \frac{h}{p+1} $$ 20. Zatem $E = \left(\frac{p}{p+1}b, \frac{h}{p+1}\right)$. 21. Prosta przez $E$ równoległa do $AB$ (czyli do osi $x$) ma równanie $y = \frac{h}{p+1}$. 22. Prosta $AC$ to $x=0$, więc punkt $F$ to przecięcie $x=0$ i $y=\frac{h}{p+1}$, czyli $F = (0, \frac{h}{p+1})$. 23. Teraz mamy punkty: - $A=(0,0)$, - $D=\left(\frac{p}{p+1}b,0\right)$, - $F=\left(0, \frac{h}{p+1}\right)$. 24. Pole trójkąta $ADF$ to: $$ S_{ADF} = \frac{1}{2} \times \text{podstawa} \times \text{wysokość} = \frac{1}{2} \times \frac{p}{p+1}b \times \frac{h}{p+1} = \frac{1}{2} b h \frac{p}{(p+1)^2} $$ 25. Pole równoległoboku $DBEF$ jest równe iloczynowi długości boków i sinusa kąta między nimi, ale ponieważ $DBEF$ jest równoległobokiem o bokach równoległych do osi, jego pole to: $$ S_{DBEF} = |DB| \times |DE| $$ 26. $|DB| = |AB| - |AD| = b - \frac{p}{p+1}b = \frac{1}{p+1}b$. 27. $|DE|$ to różnica współrzędnych $y$ punktów $D$ i $E$ (bo $DE$ jest pionowe): $$ |DE| = y_E - y_D = \frac{h}{p+1} - 0 = \frac{h}{p+1} $$ 28. Zatem: $$ S_{DBEF} = \frac{1}{p+1}b \times \frac{h}{p+1} = b h \frac{1}{(p+1)^2} $$ 29. Warunek równania pól: $$ S_{ADF} = S_{DBEF} $$ $$ \frac{1}{2} b h \frac{p}{(p+1)^2} = b h \frac{1}{(p+1)^2} $$ 30. Skracamy $b h$ i $(p+1)^2$: $$ \frac{1}{2} p = 1 $$ 31. Stąd: $$ p = 2 $$ 32. Odpowiedź: wartość $p$, dla której pole trójkąta $ADF$ jest równe polu równoległoboku $DBEF$, to $p=2$.