1. Stwierdzenie problemu: W trójkącie ABC o polu $S$ na boku $AB$ wybrano punkt $D$ tak, że $\frac{|AD|}{|DB|} = p > 0$. Przez $D$ poprowadzono prostą równoległą do $AC$, przecinającą $BC$ w $E$. Następnie przez $E$ poprowadzono prostą równoległą do $AB$, przecinającą $AC$ w $F$. Należy znaleźć wartość $p$, dla której pole trójkąta $CEF$ jest równe polu równoległoboku $DBEF$. 2. Wzory i zasady: - Pole trójkąta $ABC$ to $S$. - Punkt $D$ dzieli odcinek $AB$ w stosunku $p$, czyli $|AD| = \frac{p}{p+1}|AB|$ i $|DB| = \frac{1}{p+1}|AB|$. - Prosta przez $D$ równoległa do $AC$ tworzy z $AB$ i $BC$ podobne trójkąty. - Równoległość prostych pozwala wyznaczyć współrzędne punktów $E$ i $F$ w zależności od $p$. 3. Ustalmy układ współrzędnych dla uproszczenia: - Niech $A = (0,0)$, $B = (b,0)$, $C = (0,c)$, gdzie $b,c>0$. 4. Wyznaczenie punktu $D$ na $AB$: - $D$ dzieli $AB$ w stosunku $p$, więc $$D = \left(\frac{p}{p+1}b, 0\right).$$ 5. Prosta przez $D$ równoległa do $AC$: - Wektor $AC = (0 - 0, c - 0) = (0,c)$. - Prosta przez $D$ równoległa do $AC$ ma równanie $x = \frac{p}{p+1}b$. 6. Wyznaczenie punktu $E$ na $BC$: - Prosta $BC$ ma równanie: $$y = -\frac{c}{b}x + c.$$ - Punkt $E$ leży na $BC$ i na prostej $x = \frac{p}{p+1}b$, więc $$E = \left(\frac{p}{p+1}b, -\frac{c}{b} \cdot \frac{p}{p+1}b + c\right) = \left(\frac{p}{p+1}b, c\left(1 - \frac{p}{p+1}\right)\right) = \left(\frac{p}{p+1}b, \frac{c}{p+1}\right).$$ 7. Prosta przez $E$ równoległa do $AB$: - $AB$ jest na osi $x$, więc prosta równoległa do $AB$ to linia pozioma. - Zatem $F$ ma współrzędną $y = \frac{c}{p+1}$ i leży na $AC$. 8. Wyznaczenie punktu $F$ na $AC$: - Prosta $AC$ ma równanie $x=0$ do $y=c$ (od $A(0,0)$ do $C(0,c)$), czyli $x=0$. - Punkt $F$ na $AC$ i na linii $y=\frac{c}{p+1}$ to $$F = (0, \frac{c}{p+1}).$$ 9. Obliczenie pola trójkąta $CEF$: - Współrzędne: $$C = (0,c), E = \left(\frac{p}{p+1}b, \frac{c}{p+1}\right), F = \left(0, \frac{c}{p+1}\right).$$ - Wysokość trójkąta $CEF$ to różnica $y$ między $C$ a $F$ (lub $E$ i $F$), czyli $$c - \frac{c}{p+1} = \frac{cp}{p+1}.$$ - Podstawa to odległość między $E$ i $F$ w osi $x$, czyli $$\frac{p}{p+1}b - 0 = \frac{p}{p+1}b.$$ - Pole trójkąta $CEF$ to $$S_{CEF} = \frac{1}{2} \times \text{podstawa} \times \text{wysokość} = \frac{1}{2} \times \frac{p}{p+1}b \times \frac{cp}{p+1} = \frac{1}{2} \times b c \times \frac{p^2}{(p+1)^2}.$$ 10. Obliczenie pola równoległoboku $DBEF$: - Wierzchołki to $D = \left(\frac{p}{p+1}b, 0\right)$, $B = (b,0)$, $E = \left(\frac{p}{p+1}b, \frac{c}{p+1}\right)$, $F = \left(0, \frac{c}{p+1}\right)$. - Wektor $\overrightarrow{DB} = (b - \frac{p}{p+1}b, 0 - 0) = \left(\frac{b}{p+1}, 0\right)$. - Wektor $\overrightarrow{DE} = \left(\frac{p}{p+1}b - \frac{p}{p+1}b, \frac{c}{p+1} - 0\right) = (0, \frac{c}{p+1})$. - Pole równoległoboku to wartość wyznacznika macierzy z tych wektorów (moduł iloczynu wektorowego): $$S_{DBEF} = \left| \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{DE} \right| = \left| \frac{b}{p+1} \times \frac{c}{p+1} - 0 \right| = \frac{b c}{(p+1)^2}.$$ 11. Warunek równości pól: $$S_{CEF} = S_{DBEF}$$ $$\frac{1}{2} b c \frac{p^2}{(p+1)^2} = \frac{b c}{(p+1)^2}$$ 12. Skracamy $b c$ i $(p+1)^2$ (są dodatnie): $$\frac{1}{2} p^2 = 1$$ 13. Rozwiązujemy równanie: $$p^2 = 2$$ $$p = \sqrt{2}$$ (ponieważ $p > 0$). **Odpowiedź:** Wartość $p$ spełniająca warunek to $p = \sqrt{2}$.