1. **Zadanie 1: Oblicz pole całkowite oraz objętość prostokątnorównoległościanu o wymiarach 4 x 5 x 6** Formuły: - Objętość: $$V = a \cdot b \cdot c$$ - Pole całkowite: $$P_c = 2(ab + bc + ac)$$ Obliczenia: $$V = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$$ $$P_c = 2(4 \cdot 5 + 5 \cdot 6 + 4 \cdot 6) = 2(20 + 30 + 24) = 2 \cdot 74 = 148$$ 2. **Zadanie 2: Oblicz objętość, pole całkowite oraz długość przekątnej sześcianu, którego suma wszystkich krawędzi jest równa 36** Formuły: - Sześcian ma 12 krawędzi, każda o długości $a$, więc suma krawędzi: $$12a = 36$$ - Objętość: $$V = a^3$$ - Pole całkowite: $$P_c = 6a^2$$ - Długość przekątnej sześcianu: $$d = a\sqrt{3}$$ Obliczenia: $$12a = 36 \Rightarrow a = \cancel{\frac{12a}{12}}{\frac{36}{12}} = 3$$ $$V = 3^3 = 27$$ $$P_c = 6 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$$ $$d = 3\sqrt{3}$$ 3. **Zadanie 3: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna AC ma długość $6\sqrt{2}$, kąt ASC ma miarę 60°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.** Formuły: - Pole podstawy kwadratu: $$P_p = a^2$$ - Objętość ostrosłupa: $$V = \frac{1}{3} P_p h$$ - Przekątna kwadratu: $$AC = a\sqrt{2}$$ Obliczenia: $$6\sqrt{2} = a\sqrt{2} \Rightarrow a = 6$$ $$P_p = 6^2 = 36$$ Kąt ASC = 60° to kąt między wysokością ostrosłupa $h$ a przekątną AC. W trójkącie prostokątnym z wysokością $h$ i przekątną AC: $$\cos 60^\circ = \frac{h}{AS}$$ Najpierw obliczamy $AS$ - wysokość ściany bocznej, która jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o podstawie $\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ i wysokości $h$. Zatem: $$\tan 60^\circ = \frac{h}{3\sqrt{2}} \Rightarrow h = 3\sqrt{2} \cdot \tan 60^\circ = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6}$$ Objętość: $$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{6} = 12 \cdot 3\sqrt{6} = 36\sqrt{6}$$ **Odpowiedzi:** - Zad 1: $V=120$, $P_c=148$ - Zad 2: $V=27$, $P_c=54$, $d=3\sqrt{3}$ - Zad 3: $V=36\sqrt{6}$