1. مسئله: دو دایره مماس درونی داریم که طول خط‌المرکزین آن‌ها 2 cm است و مساحت ناحیه محدود بین آن‌ها 16\pi cm^2 است. باید نسبت شعاع دایره کوچک‌تر به بزرگ‌تر را پیدا کنیم. 2. فرض کنیم شعاع دایره بزرگ‌تر $R$ و شعاع دایره کوچک‌تر $r$ باشد. 3. چون دایره‌ها مماس درونی هستند، فاصله مرکزهایشان برابر است با $R - r$ که داده شده 2 cm: $$R - r = 2$$ 4. مساحت ناحیه محدود بین دو دایره برابر است با تفاضل مساحت دایره بزرگ‌تر و دایره کوچک‌تر: $$\pi R^2 - \pi r^2 = 16\pi$$ 5. ساده‌سازی معادله مساحت: $$\pi (R^2 - r^2) = 16\pi \Rightarrow R^2 - r^2 = 16$$ 6. از رابطه $R^2 - r^2 = (R - r)(R + r)$ استفاده می‌کنیم: $$ (R - r)(R + r) = 16$$ 7. جایگزینی $R - r = 2$: $$ 2(R + r) = 16 \Rightarrow R + r = 8$$ 8. حال دو معادله داریم: $$\begin{cases} R - r = 2 \\ R + r = 8 \end{cases}$$ 9. جمع دو معادله: $$2R = 10 \Rightarrow R = 5$$ 10. جایگزینی مقدار $R$ در معادله اول: $$5 - r = 2 \Rightarrow r = 3$$ 11. نسبت شعاع دایره کوچک‌تر به بزرگ‌تر: $$\frac{r}{R} = \frac{3}{5}$$ پاسخ نهایی: گزینه 4) $\frac{3}{5}$