1. **הבעיה:** נתון מעוין ABCD ונקודה M על האלכסון AC כך ש- MD = MC. 2. **הוכחת M מרכז המעגל החוסם את המשולש DBC:** - נקודה M שווה מרחק מנקודות D ו-C, כלומר MD = MC. - לכן M נמצא על המעגל שעובר דרך D ו-C. - בנוסף, M נמצא על האלכסון AC, שהוא קוטר במעוין (כי מעוין הוא מצולע עם אלכסונים שווים ומאונכים). - לכן, M הוא מרכז המעגל החוסם את המשולש DBC. 3. **הוכחת כי \(\angle MDC + \angle DBC = 90^\circ\):** - זווית \(\angle MDC\) היא זווית במעגל עם קוטר AC. - לפי משפט זווית היקפית, זווית הנשענת על קוטר היא 90 מעלות. - לכן, \(\angle MDC = 90^\circ - \angle DBC\), כלומר \(\angle MDC + \angle DBC = 90^\circ\). 4. **חישוב שטח המעוין ABCD:** - רדיוס המעגל החוסם את המשולש DBC הוא 10 ס"מ, כלומר \(MC = MD = 10\). - המרחק מ-M לאלכסון DB הוא 1.5 ס"מ, כלומר המרחק האנכי מ-M ל-DB הוא 1.5. - שטח המשולש DBC הוא \(\frac{1}{2} \times DB \times 1.5\). - נשתמש במשפט פיתגורס במשולש MDC כדי למצוא \(DB\): \[ DB = 2 \times \sqrt{MC^2 - 1.5^2} = 2 \times \sqrt{10^2 - 1.5^2} = 2 \times \sqrt{100 - 2.25} = 2 \times \sqrt{97.75} \approx 2 \times 9.887 = 19.774 \] - שטח המשולש DBC הוא: \[ S_{DBC} = \frac{1}{2} \times 19.774 \times 1.5 = 14.83 \text{ ס"מ}^2 \] - שטח המעוין ABCD הוא כפול שטח המשולש DBC (כי המעוין מורכב משני משולשים שווים DBC ו-ABC): \[ S_{ABCD} = 2 \times 14.83 = 29.66 \text{ ס"מ}^2 \] **תשובה סופית:** שטח המעוין ABCD הוא \(29.66\) ס"מ בריבוע.