1. **Постановка задачи:** В ромбе сторона равна $12$, тупой угол равен $120^\circ$. Нужно найти меньшую диагональ ромба. 2. **Формулы и правила:** В ромбе все стороны равны, диагонали пересекаются под прямым углом и делят углы пополам. 3. Обозначим сторону ромба как $a=12$. 4. Тупой угол ромба $\angle = 120^\circ$, тогда острый угол равен $60^\circ$ (так как сумма соседних углов равна $180^\circ$). 5. Диагонали ромба можно выразить через сторону и угол: $$ d_1 = 2a \sin\frac{\theta}{2}, \quad d_2 = 2a \cos\frac{\theta}{2} $$ где $\theta$ — тупой угол ромба. 6. Подставим $a=12$, $\theta=120^\circ$: $$ d_1 = 2 \times 12 \times \sin 60^\circ = 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} $$ $$ d_2 = 2 \times 12 \times \cos 60^\circ = 24 \times \frac{1}{2} = 12 $$ 7. Меньшая диагональ — это $d_2 = 12$. **Ответ:** $12$