1. **Énoncé du problème :** Soit un triangle ABC non isocèle avec des points P sur la demi-droite [BA) et Q sur la demi-droite [CA) tels que $BP = CQ$ et $P \neq B$. 2. **Montrer qu'il existe une rotation unique transformant B en C et P en Q, et déterminer son angle :** - Une rotation est une isométrie du plan qui conserve les distances et les angles. - Puisque $BP = CQ$, on peut envisager une rotation $R$ centrée en un point $O$ qui envoie $B$ sur $C$ et $P$ sur $Q$. - L'angle de cette rotation est l'angle orienté $\widehat{(AB, AC)}$ modulo $2\pi$. - Formellement, l'angle $\theta$ de la rotation vérifie $$\theta \equiv \widehat{(AB, AC)} \pmod{2\pi}.$$ 3. **Construction du centre $O$ de la rotation et preuve de son indépendance de $P$ et $Q$ :** - Le centre $O$ est le point d'intersection des médiatrices des segments $[BC]$ et $[PQ]$. - Comme $BP = CQ$, les segments $[BP]$ et $[CQ]$ sont égaux, donc la rotation qui envoie $B$ sur $C$ envoie aussi $P$ sur $Q$. - La position de $O$ ne dépend pas du choix de $P$ et $Q$ car la rotation est définie uniquement par l'image de $B$ en $C$ et l'angle $\theta$. 4. **Nature du triangle $OPQ$ :** - Puisque $O$ est le centre de la rotation qui envoie $P$ sur $Q$, les segments $OP$ et $OQ$ ont même longueur. - De plus, l'angle $\widehat{POQ}$ est égal à l'angle de la rotation $\theta$. - Donc, le triangle $OPQ$ est isocèle avec $OP = OQ$. 5. **Construction des points $P$ et $Q$ vérifiant $BP = CQ = PQ$ :** - On cherche $P$ sur la demi-droite $[BA)$ et $Q$ sur la demi-droite $[CA)$ tels que $BP = CQ = PQ$. - En utilisant la rotation $R$ de centre $O$ et d'angle $\theta$, on choisit $P$ tel que $BP = r$ pour un certain $r > 0$. - Alors $Q = R(P)$ et $CQ = BP = r$. - Le segment $PQ$ est alors égal à $r$ car la rotation conserve les distances. **Réponse finale :** - Il existe une rotation unique d'angle $\theta \equiv \widehat{(AB, AC)} \pmod{2\pi}$ qui envoie $B$ sur $C$ et $P$ sur $Q$. - Le centre $O$ de cette rotation est indépendant du choix de $P$ et $Q$. - Le triangle $OPQ$ est isocèle avec $OP = OQ$. - Les points $P$ et $Q$ vérifiant $BP = CQ = PQ$ peuvent être construits par cette rotation.