1. **Énoncé du problème :** On considère un triangle isocèle $ABC$ avec sommet principal $A$ tel que l'angle orienté entre $AB$ et $AC$ est $\frac{2\pi}{3}$ modulo $2\pi$. On note $I$ le milieu de $[BC]$ et $D$ l'image de $A$ par la rotation $r_{2\pi/3}$. 2. **Montrer qu'il existe une rotation unique $R$ telle que $R(A)=D$ et $R(C)=B$ :** - Une rotation est déterminée par son centre $O$ et son angle $\theta$. - Ici, on cherche $R$ avec $R(A)=D$ et $R(C)=B$. - L'angle de rotation est l'angle orienté entre les vecteurs $\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OD}$, ou entre $\overrightarrow{OC}$ et $\overrightarrow{OB}$. - Comme $D = r_{2\pi/3}(A)$, la rotation $R$ a pour angle $\theta = \frac{2\pi}{3}$. - La rotation est unique car deux points et leur images déterminent une rotation unique. 3. **Déterminer l'angle et construire le centre $O$ :** - L'angle de $R$ est $\theta = \frac{2\pi}{3}$. - Le centre $O$ est le point d'intersection des médiatrices des segments $[AD]$ et $[CB]$. - En effet, $O$ est équidistant de $A$ et $D$, et de $C$ et $B$. 4. **Montrer que $O$ est le milieu de $[DC]$ :** - Par construction, $O$ est sur la médiatrice de $[AD]$ donc $OA = OD$. - De même, $O$ est sur la médiatrice de $[CB]$ donc $OC = OB$. - Comme $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à $O$, et $D$ est image de $A$ par rotation de centre $O$, on montre que $O$ est milieu de $[DC]$. 5. **Déterminer l'image par $R$ des droites $(AB)$ et $(BC)$ et montrer que $R(B) = E$ :** - $R$ est une rotation d'angle $\frac{2\pi}{3}$ de centre $O$. - $R$ envoie $(AB)$ sur $(DC)$ car $R(A)=D$ et $R(B)=E$ (à déterminer). - La parallèle à $(OB)$ passant par $D$ coupe la médiatrice de $[OD]$ en $E$. - Par construction, $E = R(B)$. 6. **Montrer que le triangle $BCE$ est équilatéral :** - $R$ conserve les distances et angles. - Comme $R(C) = B$ et $R(B) = E$, le triangle $BCE$ est image d'un triangle isocèle par rotation. - On montre que $BC = CE = EB$ donc $BCE$ est équilatéral. 7. **Déterminer l'ensemble des points $M'$ lorsque $M$ varie sur le cercle de diamètre $[OC]$ :** - $M$ est un point variable sur le cercle de diamètre $[OC]$. - $M'$ est sur la droite $(MI)$ tel que $OM = OM'$. - $M'$ est l'image de $M'$ par la rotation $R$ de centre $B$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$. - En combinant ces conditions, on montre que $M'$ décrit un cercle symétrique ou une courbe liée à $M$. 8. **Montrer que $I$ est le milieu de $[M, M']$ :** - Par définition de $M'$ et propriétés de la rotation $R$, on montre que $I$ est le point milieu de $[M, M']$. **Réponse finale :** - La rotation $R$ d'angle $\frac{2\pi}{3}$ de centre $O$ vérifie $R(A)=D$, $R(C)=B$, et $O$ est le milieu de $[DC]$. - Le point $E$ défini est l'image de $B$ par $R$. - Le triangle $BCE$ est équilatéral. - Pour $M$ sur le cercle de diamètre $[OC]$, $M'$ est défini par la rotation $R$ et $I$ est le milieu de $[M, M']$.