1. **Énoncé du problème :** Calculer les longueurs des segments [FD], [AF], [EB], [DK] et la longueur totale du parcours passant par A, F, E, D, K dans la configuration donnée. 2. **Données importantes :** - Triangle ACF rectangle en C avec AC = 400 m et angle $\widehat{CAF} = 30^\circ$. - Triangle BED rectangle en D avec ED = 300 m et BD = 400 m. - Segments FE = ED = DH = 300 m. - Points C, F, E, D, H alignés. - Droites (EB) et (KD) parallèles, K sur [BH]. --- 3. **Calcul de [FD] :** - Puisque F, E, D, H sont alignés et FE = ED = DH = 300 m, - Le segment [FD] = FE + ED = 300 + 300 = 600 m. --- 4. **Calcul de [AF] :** - Dans le triangle rectangle ACF, on utilise la trigonométrie : - $AF = AC \times \tan(30^\circ)$ - $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$ - Donc $AF = 400 \times 0.577 = 230.94$ m - Arrondi au mètre : $AF \approx 231$ m --- 5. **Calcul de [EB] :** - Triangle BED rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore : $$EB = \sqrt{BD^2 + ED^2} = \sqrt{400^2 + 300^2} = \sqrt{160000 + 90000} = \sqrt{250000} = 500\text{ m}$$ --- 6. **Calcul de [DK] :** - Les droites (EB) et (KD) sont parallèles, K appartient à [BH]. - BH = BD + DH = 400 + 300 = 700 m - Puisque FE = ED = DH, et points C, F, E, D, H alignés, on a : - BK = $\frac{EB}{BH} \times BD$ (par Thalès) - En fait, on utilise la proportionnalité : - $\frac{DK}{EB} = \frac{DH}{BH} = \frac{300}{700} = \frac{3}{7}$ - Donc $DK = EB \times \frac{3}{7} = 500 \times \frac{3}{7} = \frac{1500}{7} \approx 214.29$ m --- 7. **Longueur totale du parcours A-F-E-D-K :** - $AF + FE + ED + DK = 231 + 300 + 300 + 214.29 = 1045.29$ m - Arrondi : 1045 m --- **Réponses finales :** - $[FD] = 600$ m - $[AF] \approx 231$ m - $[EB] = 500$ m - $[DK] \approx 214$ m - Longueur totale du parcours $\approx 1045$ m