1. **Exercice 02**: Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$. 1. Construire $C'$, le symétrique de $C$ par rapport à $A$ signifie que $A$ est le milieu de $[CC']$. Formellement, si $A$ a pour coordonnées $(x_A,y_A)$ et $C$ a $(x_C,y_C)$, alors $C'$ a pour coordonnées $$\left(2x_A - x_C, 2y_A - y_C\right).$$ 2. Pour démontrer que $C'$ est le symétrique de $C$ par rapport à la droite $(AB)$, on utilise la propriété que la droite $(AB)$ est la médiatrice du segment $[CC']$. Cela signifie que $(AB)$ est perpendiculaire à $[CC']$ et passe par son milieu. Puisque $A$ est le milieu de $[CC']$ et $ABC$ est rectangle en $A$, $(AB)$ est perpendiculaire à $[AC]$ donc aussi à $[CC']$. Ainsi, $C'$ est bien le symétrique de $C$ par rapport à $(AB)$. 3. **Exercice 03**: Soit $ABC$ un triangle avec $AB=5$, $AC=6$, $BC=7$. 1. Construire le triangle $ABC$ en traçant un segment $[AB]$ de longueur 5, puis placer $C$ tel que $AC=6$ et $BC=7$. 2. Construire $A'$, le symétrique de $A$ par rapport à la droite $(BC)$. Pour cela, on projette $A$ orthogonalement sur $(BC)$, obtenant le pied $H$, puis $A'$ est tel que $H$ est le milieu de $[AA']$. Formellement, si $A$ a pour coordonnées $(x_A,y_A)$ et $(BC)$ est définie, on calcule la projection orthogonale et applique la formule du symétrique. 3. Le symétrique de la droite $(AB)$ par rapport à la droite $(BC)$ est la droite $(A'B')$ où $A'$ et $B'$ sont les symétriques respectifs de $A$ et $B$ par rapport à $(BC)$. Justification : la symétrie axiale conserve les distances et les alignements, donc l'image de $(AB)$ est une droite parallèle ou confondue avec $(AB)$ selon la position relative. 4. **Exercice 04**: Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$. 1. Construire $(\Delta)$, le symétrique de la droite $(AC)$ par rapport à $(BD)$. On applique la symétrie axiale définie par $(BD)$ à chaque point de $(AC)$. 2. Construire $(D)$, le symétrique de la droite $(BD)$ par rapport à $(AC)$ de même manière. 3. Montrer que $(D)$ et $(\Delta)$ sont sécantes en $O$. Puisque $O$ est le centre du parallélogramme, il est le milieu de $[AC]$ et $[BD]$. La symétrie axiale conserve les milieux, donc $O$ appartient à $(D)$ et $(\Delta)$, donc ces droites se coupent en $O$. 5. **Exercice 05**: Soit $[AB]$ un segment avec $I$ son milieu, et $(\Delta)$ une droite passant par $I$. 1. Construire $E$, le symétrique de $A$ par rapport à $(\Delta)$. On projette $A$ orthogonalement sur $(\Delta)$, puis on construit $E$ tel que le pied de la perpendiculaire est le milieu de $[AE]$. 2. Construire $F$, le symétrique de $B$ par rapport à $(\Delta)$ de même manière. **Résumé**: Ces exercices utilisent les propriétés de la symétrie axiale : - Le symétrique d'un point $P$ par rapport à un point $M$ est tel que $M$ est le milieu de $[PP']$. - Le symétrique d'un point $P$ par rapport à une droite $(d)$ est obtenu en projetant $P$ orthogonalement sur $(d)$ et en construisant le point $P'$ tel que le pied est le milieu de $[PP']$. - La symétrie axiale conserve les distances, les alignements, et les milieux. Ces propriétés permettent de construire les points et droites symétriques demandés et de démontrer les relations géométriques.