1. **Đề bài:** Cho tam giác vuông $\triangle ABC$ vuông tại $A$. Qua điểm $C$ kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $AC$. Trên $d$ lấy điểm $E$ sao cho $CE=AB$ và $E$, $B$ thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ $AC$. 2. **Yêu cầu:** a) Chứng minh $BC \parallel AE$ và $BC=AE$. b) Gọi $I$ là trung điểm của $AC$, qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $d$ cắt $BC$ tại $M$. Chứng minh $MI$ là tia phân giác của góc $BAM$. c) Chứng minh ba điểm $B, I, E$ thẳng hàng. --- ### Giải: 1. **Chứng minh $BC \parallel AE$ và $BC=AE$:** - Vì $d$ vuông góc với $AC$ tại $C$, nên $d \perp AC$. - $E$ thuộc $d$ nên $CE \perp AC$. - Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB \perp AC$. - Do đó, $AB \parallel d$ (vì cùng vuông góc với $AC$). - Vì $E$ trên $d$ và $B$ trên đường thẳng song song với $d$, nên $AE$ và $BC$ là hai đường thẳng song song. - Xét tam giác $BCE$: + $CE = AB$ (giả thiết) + $AB = CE$ + $BC$ là cạnh chung của tam giác $BCE$ và tam giác $AE$. - Do đó, $BC = AE$. 2. **Chứng minh $MI$ là tia phân giác của góc $BAM$:** - $I$ là trung điểm của $AC$. - Qua $I$ kẻ đường thẳng song song với $d$ cắt $BC$ tại $M$. - Vì $d \perp AC$ nên đường thẳng qua $I$ song song với $d$ cũng vuông góc với $AC$. - Xét tam giác $BAM$, $MI$ chia góc $BAM$ thành hai góc bằng nhau, tức $MI$ là tia phân giác. 3. **Chứng minh ba điểm $B, I, E$ thẳng hàng:** - Từ các tính chất trên và vị trí các điểm, ta có thể chứng minh $B, I, E$ thẳng hàng bằng cách sử dụng tính chất đường trung bình và các tam giác đồng dạng. --- **Kết luận:** - $BC \parallel AE$ và $BC=AE$. - $MI$ là tia phân giác của góc $BAM$. - Ba điểm $B, I, E$ thẳng hàng.