1. **Énoncé du problème :** On considère un triangle ABC avec (EF) parallèle à (BC), et les longueurs suivantes : $AC=4$, $BC=5$, $EA=12$, $AB=3$. 2. **Calculer $AF$, $EF$ puis $EC$ :** - Puisque $E$ est sur la droite contenant $A$ et $C$, et $EA=12$, $AC=4$, alors $E$ est au-delà de $C$ sur la droite $AC$. - Calcul de $AF$ : Par le théorème de Thalès, puisque $(EF) \parallel (BC)$, on a : $$\frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AC}$$ On connaît $AB=3$, $AE=12$, $AC=4$, donc : $$\frac{AF}{3} = \frac{12}{4} = 3$$ Donc : $$AF = 3 \times 3 = 9$$ - Calcul de $EF$ : Toujours par Thalès, on a : $$\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AC}$$ On connaît $BC=5$, $AE=12$, $AC=4$, donc : $$\frac{EF}{5} = \frac{12}{4} = 3$$ Donc : $$EF = 5 \times 3 = 15$$ - Calcul de $EC$ : Comme $E$ est sur la droite $AC$ au-delà de $C$, on a : $$EC = EA - AC = 12 - 4 = 8$$ 3. **Calculer et comparer $\frac{EA}{EN}$ et $\frac{EF}{EM}$ avec $EN=2$ et $EM=2.5$ :** - Calcul de $\frac{EA}{EN}$ : $$\frac{EA}{EN} = \frac{12}{2} = 6$$ - Calcul de $\frac{EF}{EM}$ : $$\frac{EF}{EM} = \frac{15}{2.5} = 6$$ Les deux rapports sont égaux. 4. **En déduire que $(AF) \parallel (NM)$ :** Puisque les rapports $\frac{EA}{EN}$ et $\frac{EF}{EM}$ sont égaux, par le théorème de Thalès réciproque, les droites $(AF)$ et $(NM)$ sont parallèles. **Réponses finales :** - $AF = 9$ cm - $EF = 15$ cm - $EC = 8$ cm - $\frac{EA}{EN} = \frac{EF}{EM} = 6$ - $(AF) \parallel (NM)$