1. **Nêu bài toán:** Cho hai hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy và chiều cao đều bằng 8 cm, được xếp chồng lên nhau như hình vẽ. Hai điểm P và M chia đường chéo của hình chóp theo tỉ lệ 1:3. Yêu cầu tính thể tích phần chung giữa hai hình chóp này, làm tròn đến hàng phần chục. 2. **Công thức và kiến thức cần dùng:** Thể tích hình chóp tứ giác đều được tính theo công thức: $$V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h$$ Trong đó $S_{đáy}$ là diện tích đáy hình chóp, $h$ là chiều cao. 3. **Tính diện tích đáy:** Đáy là hình vuông cạnh 8 cm nên $$S_{đáy} = 8 \times 8 = 64$$ 4. **Tính thể tích mỗi hình chóp:** $$V = \frac{1}{3} \times 64 \times 8 = \frac{1}{3} \times 512 = 170.666...$$ 5. **Xác định phần chung:** Hai điểm P và M chia đường chéo theo tỉ lệ 1:3, tức là P và M nằm trên đường chéo đáy, chia đáy thành các phần tỉ lệ 1:3. 6. **Phần chung của hai hình chóp:** Phần chung là hình chóp nhỏ hơn được tạo thành bởi mặt đáy là hình vuông nhỏ hơn do P và M tạo thành, và chiều cao cũng tỉ lệ với tỉ lệ chia đường chéo. 7. **Tính tỉ lệ chiều cao phần chung:** Vì P và M chia đường chéo theo tỉ lệ 1:3, chiều cao phần chung cũng tỉ lệ tương ứng là $\frac{1}{4}$ chiều cao ban đầu (vì 1+3=4). 8. **Tính diện tích đáy phần chung:** Đường chéo đáy hình vuông là $8\sqrt{2}$. Tỉ lệ chia 1:3 trên đường chéo nghĩa là phần đáy chung có cạnh bằng $\frac{1}{4}$ cạnh đáy ban đầu (do tỉ lệ chia đường chéo). Vậy cạnh đáy phần chung là: $$8 \times \frac{1}{4} = 2$$ Diện tích đáy phần chung: $$S_{đáy, chung} = 2 \times 2 = 4$$ 9. **Tính chiều cao phần chung:** $$h_{chung} = 8 \times \frac{1}{4} = 2$$ 10. **Tính thể tích phần chung:** $$V_{chung} = \frac{1}{3} \times 4 \times 2 = \frac{8}{3} = 2.666...$$ 11. **Làm tròn kết quả:** $$V_{chung} \approx 2.7$$ **Kết luận:** Thể tích phần chung giữa hai hình chóp là khoảng **2.7 cm³** (làm tròn đến hàng phần chục).