1. Bài toán yêu cầu tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{BM}$ và $\overrightarrow{BC}$ trong tam giác $ABC$ với các độ dài cạnh $AB=15$, $BC=13$, $CA=18$ và điểm $M$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $MC=3MA$. 2. Ta sẽ sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ: $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos \theta$$ trong đó $\theta$ là góc giữa hai vectơ. 3. Đầu tiên, xác định vị trí điểm $M$ trên đoạn $AC$. Vì $MC=3MA$, ta có tỉ lệ chia đoạn $AC$ thành 4 phần, trong đó $MA=\frac{1}{4}AC$ và $MC=\frac{3}{4}AC$. 4. Chọn hệ trục tọa độ thuận tiện: đặt $A$ tại gốc tọa độ $(0,0)$, $C$ trên trục $x$ tại $(18,0)$. 5. Vị trí điểm $M$ trên $AC$ là: $$M = A + \frac{1}{4} \overrightarrow{AC} = (0,0) + \frac{1}{4}(18,0) = (4.5,0)$$ 6. Tìm tọa độ điểm $B$. Gọi $B=(x,y)$, ta có: - $AB=15 \Rightarrow (x-0)^2 + (y-0)^2 = 15^2 = 225$ - $BC=13 \Rightarrow (x-18)^2 + (y-0)^2 = 13^2 = 169$ 7. Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 225 \\ (x-18)^2 + y^2 = 169 \end{cases}$$ Trừ hai phương trình: $$x^2 + y^2 - (x-18)^2 - y^2 = 225 - 169$$ $$x^2 - (x^2 - 36x + 324) = 56$$ $$36x - 324 = 56$$ $$36x = 380$$ $$x = \frac{380}{36} = \frac{95}{9} \approx 10.56$$ Thay vào $x^2 + y^2 = 225$: $$\left(\frac{95}{9}\right)^2 + y^2 = 225$$ $$\frac{9025}{81} + y^2 = 225$$ $$y^2 = 225 - \frac{9025}{81} = \frac{18225 - 9025}{81} = \frac{9200}{81}$$ $$y = \pm \frac{\sqrt{9200}}{9} = \pm \frac{20\sqrt{23}}{9}$$ Chọn $y > 0$ để thuận tiện: $B = \left(\frac{95}{9}, \frac{20\sqrt{23}}{9}\right)$. 8. Tính vectơ $\overrightarrow{BM} = M - B = \left(4.5 - \frac{95}{9}, 0 - \frac{20\sqrt{23}}{9}\right) = \left(\frac{9}{2} - \frac{95}{9}, -\frac{20\sqrt{23}}{9}\right)$. Quy đồng mẫu: $$\frac{9}{2} = \frac{81}{18}, \quad \frac{95}{9} = \frac{190}{18}$$ $$x_{BM} = \frac{81}{18} - \frac{190}{18} = -\frac{109}{18}$$ Vậy: $$\overrightarrow{BM} = \left(-\frac{109}{18}, -\frac{20\sqrt{23}}{9}\right)$$ 9. Tính vectơ $\overrightarrow{BC} = C - B = (18 - \frac{95}{9}, 0 - \frac{20\sqrt{23}}{9}) = \left(\frac{162}{9} - \frac{95}{9}, -\frac{20\sqrt{23}}{9}\right) = \left(\frac{67}{9}, -\frac{20\sqrt{23}}{9}\right)$. 10. Tính tích vô hướng: $$\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BC} = x_{BM} x_{BC} + y_{BM} y_{BC} = \left(-\frac{109}{18}\right) \left(\frac{67}{9}\right) + \left(-\frac{20\sqrt{23}}{9}\right) \left(-\frac{20\sqrt{23}}{9}\right)$$ Tính từng phần: $$-\frac{109}{18} \times \frac{67}{9} = -\frac{7303}{162}$$ $$-\frac{20\sqrt{23}}{9} \times -\frac{20\sqrt{23}}{9} = \frac{400 \times 23}{81} = \frac{9200}{81}$$ Quy đồng mẫu: $$-\frac{7303}{162} + \frac{9200}{81} = -\frac{7303}{162} + \frac{18400}{162} = \frac{11097}{162} = \frac{539}{2}$$ 11. Vậy tích vô hướng $\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{BC} = \frac{539}{2}$. **Đáp án đúng là C.**