1. **Énoncé du problème :** Montrer que la droite (DC) est l'image de la droite (AB) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\). 2. **Formule et règles importantes :** La translation \(T\) de vecteur \(\overrightarrow{BC}\) transforme un point \(X\) en un point \(X'\) tel que \(\overrightarrow{XX'} = \overrightarrow{BC}\). 3. **Démonstration :** - Soit \(A' = T(A)\) et \(B' = T(B)\). - Par définition de la translation, \(\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{BC}\). - Donc, \(A' = A + \overrightarrow{BC}\) et \(B' = B + \overrightarrow{BC}\). 4. **Relation entre les points :** - Puisque \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\), alors \[\overrightarrow{A'B'} = (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{BC}) - (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \overrightarrow{AB} \] - Cela montre que la droite passant par \(A'\) et \(B'\) est parallèle et de même longueur que (AB). 5. **Identification de la droite (DC) :** - Par construction du trapèze rectangle, le segment (DC) est parallèle à (AB) et de même longueur. - De plus, \(D = A + \overrightarrow{BC}\) et \(C = B + \overrightarrow{BC}\) car \(\overrightarrow{BC}\) est le vecteur de translation. - Donc, la droite (DC) est l'image de la droite (AB) par la translation \(T\). **Réponse finale :** La droite (DC) est bien l'image de la droite (AB) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\).