1. **Énoncé du problème :** Soit un triangle ABC et une translation $t$ qui transforme le point $A$ en $C$. 2. **Définition de la translation :** La translation $t$ est définie par un vecteur $\overrightarrow{AC}$ tel que pour tout point $M$, son image $M'$ par $t$ vérifie : $$M' = M + \overrightarrow{AC}$$ 3. **a) Construction du point $E$ image de $B$ par $t$ :** Le point $E$ est l'image de $B$ par la translation $t$, donc : $$E = B + \overrightarrow{AC}$$ Cela signifie que le vecteur $\overrightarrow{BE}$ est égal à $\overrightarrow{AC}$. 4. **b) Construction du point $F$ image de $C$ par $t$ :** Le point $F$ est l'image de $C$ par la translation $t$, donc : $$F = C + \overrightarrow{AC}$$ Le vecteur $\overrightarrow{CF}$ est donc égal à $\overrightarrow{AC}$. 5. **c) Image du point $E$ par la translation qui transforme $B$ en $C$ :** La translation qui transforme $B$ en $C$ est définie par le vecteur $\overrightarrow{BC}$. L'image de $E$ par cette translation est donc : $$E' = E + \overrightarrow{BC}$$ Or, on sait que : $$E = B + \overrightarrow{AC}$$ Donc : $$E' = B + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC}$$ Par la relation de Chasles : $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}$$ Mais plus simplement, on peut écrire : $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}$$ Cependant, pour simplifier, on remarque que : $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}$$ Mais cela est incorrect, la bonne relation est : $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}$$ Ceci est une erreur, corrigeons : Par la relation de Chasles : $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$$ Donc : $$E' = B + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} = B + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{BC} = B + \overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{BC}$$ Or, $B + \overrightarrow{AB} = A$, donc : $$E' = A + 2\overrightarrow{BC}$$ Cela signifie que l'image de $E$ par la translation qui transforme $B$ en $C$ est le point obtenu en partant de $A$ et en ajoutant deux fois le vecteur $\overrightarrow{BC}$. **Réponse finale :** - $E$ est obtenu en décalant $B$ par le vecteur $\overrightarrow{AC}$. - $F$ est obtenu en décalant $C$ par le vecteur $\overrightarrow{AC}$. - L'image de $E$ par la translation qui transforme $B$ en $C$ est le point $E' = A + 2\overrightarrow{BC}$.