1. **Énoncé du problème :** Soit $a \geq 2$. Dans le trapèze rectangle $ABCD$ avec $AB = a$, $AD = 6$, $DC = 2$, $E$ sur $[AB]$ tel que $AECD$ est un rectangle, $I$ milieu de $[EC]$, et $K$ intersection de $(AI)$ et $(BC)$. 2. **Montrer que $(AI) \perp (BC)$ si et seulement si $a=11$ :** - Coordonnées des points dans un repère orthonormé avec $A$ à l'origine, $AB$ sur l'axe $x$ et $AD$ sur l'axe $y$ : - $A = (0,0)$ - $B = (a,0)$ - $D = (0,6)$ - $C = (2,6)$ (car $DC=2$ horizontal) - $E$ sur $[AB]$ tel que $AECD$ est un rectangle donc $E = (x_E,0)$ avec $x_E$ à déterminer. - Puisque $AECD$ est rectangle, $E$ et $C$ ont même ordonnée que $D$ et $A$ respectivement, donc $E=(2,0)$. - $I$ milieu de $[EC]$ : $$I = \left(\frac{2+2}{2}, \frac{0+6}{2}\right) = (2,3)$$ - Vecteurs : $$\overrightarrow{AI} = (2-0, 3-0) = (2,3)$$ $$\overrightarrow{BC} = (2 - a, 6 - 0) = (2 - a, 6)$$ - Condition de perpendicularité : $$\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$$ $$2(2 - a) + 3 \times 6 = 0$$ $$4 - 2a + 18 = 0$$ $$22 - 2a = 0$$ $$2a = 22$$ $$a = 11$$ 3. **Montrer que $BA \cdot BC = 99$ pour $a=11$ :** - Vecteurs : $$\overrightarrow{BA} = (0 - 11, 0 - 0) = (-11, 0)$$ $$\overrightarrow{BC} = (2 - 11, 6 - 0) = (-9, 6)$$ - Produit scalaire : $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-11)(-9) + 0 \times 6 = 99 + 0 = 99$$ 4. **En déduire la distance $BK$ :** - $K$ est l'intersection de $(AI)$ et $(BC)$. - Paramétrisation de $(AI)$ : $$\vec{r}_{AI}(t) = A + t \overrightarrow{AI} = (0,0) + t(2,3) = (2t, 3t)$$ - Paramétrisation de $(BC)$ : $$\vec{r}_{BC}(s) = B + s \overrightarrow{BC} = (11,0) + s(-9,6) = (11 - 9s, 6s)$$ - Trouver $t,s$ tels que $$2t = 11 - 9s$$ $$3t = 6s$$ - De la deuxième équation : $$t = 2s$$ - Substituer dans la première : $$2(2s) = 11 - 9s$$ $$4s = 11 - 9s$$ $$4s + 9s = 11$$ $$13s = 11$$ $$s = \frac{11}{13}$$ - Calculer $t$ : $$t = 2 \times \frac{11}{13} = \frac{22}{13}$$ - Coordonnées de $K$ : $$K = (2t, 3t) = \left(2 \times \frac{22}{13}, 3 \times \frac{22}{13}\right) = \left(\frac{44}{13}, \frac{66}{13}\right)$$ - Distance $BK$ : $$BK = \sqrt{\left(11 - \frac{44}{13}\right)^2 + \left(0 - \frac{66}{13}\right)^2}$$ $$= \sqrt{\left(\frac{143}{13} - \frac{44}{13}\right)^2 + \left(-\frac{66}{13}\right)^2}$$ $$= \sqrt{\left(\frac{99}{13}\right)^2 + \left(\frac{66}{13}\right)^2}$$ $$= \frac{1}{13} \sqrt{99^2 + 66^2}$$ $$= \frac{1}{13} \sqrt{9801 + 4356} = \frac{1}{13} \sqrt{14157}$$ - Simplification de $\sqrt{14157}$ : $$14157 = 9 \times 1573$$ $$\sqrt{14157} = 3 \sqrt{1573}$$ - Donc : $$BK = \frac{3 \sqrt{1573}}{13}$$ **Réponse finale :** - $(AI) \perp (BC)$ si et seulement si $a=11$. - Pour $a=11$, $BA \cdot BC = 99$. - La distance $BK = \frac{3 \sqrt{1573}}{13}$.