1. Énoncé du problème : On considère un triangle ABC rectangle en A avec AB = 2 et BC = x. 2. Exprimer la longueur AC en fonction de x : Le triangle est rectangle en A, donc on peut utiliser le théorème de Pythagore : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$ On remplace par les valeurs connues : $$x^2 = 2^2 + AC^2$$ $$x^2 = 4 + AC^2$$ Isolons $AC^2$ : $$AC^2 = x^2 - 4$$ Donc : $$AC = \sqrt{x^2 - 4}$$ 3. Pour quelles valeurs de $x$ cette formule est valable ? La racine carrée est définie pour les nombres positifs ou nuls, donc : $$x^2 - 4 \geq 0$$ $$x^2 \geq 4$$ $$|x| \geq 2$$ Comme $x$ représente la longueur BC, elle est positive, donc : $$x \geq 2$$ 4. Exprimer l'aire $A$ puis le périmètre $P$ du triangle ABC en fonction de $x$ : L'aire d'un triangle rectangle est : $$A = \frac{1}{2} \times AB \times AC$$ On remplace : $$A = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{x^2 - 4} = \sqrt{x^2 - 4}$$ Le périmètre est la somme des longueurs des côtés : $$P = AB + BC + AC = 2 + x + \sqrt{x^2 - 4}$$ Résumé : - $AC = \sqrt{x^2 - 4}$ avec $x \geq 2$ - $A = \sqrt{x^2 - 4}$ - $P = 2 + x + \sqrt{x^2 - 4}$