1. **Énoncé du problème** : Trouver une équation du plan (P) passant par les points A(3,1,1), B(2,0,3), C(1,2,2). 2. **Calcul du vecteur normal au plan (P)** : Calculons les vecteurs AB et AC. $$\overrightarrow{AB} = (2-3, 0-1, 3-1) = (-1, -1, 2)$$ $$\overrightarrow{AC} = (1-3, 2-1, 2-1) = (-2, 1, 1)$$ Le vecteur normal $\vec{n}$ est le produit vectoriel $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1\cdot1 - 2\cdot1, -( -1\cdot1 - 2\cdot(-2)), -1\cdot1 - (-1)\cdot(-2)) = (-1-2, -(-1+4), -1-2) = (-3, -3, -3)$$ On peut prendre $\vec{n} = (1,1,1)$ par simplification. 3. **Équation cartésienne du plan (P)** : Utilisons le point A(3,1,1) pour écrire l'équation : $$1(x-3) + 1(y-1) + 1(z-1) = 0 \Rightarrow x + y + z = 5$$ 4. a) **Montrer que le triangle ABC est équilatéral** : Calculons les longueurs : $$AB = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$ $$BC = \sqrt{(2-1)^2 + (0-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$ $$AC = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ Les trois côtés sont égaux à $\sqrt{6}$ donc $\triangle ABC$ est équilatéral. 4. b) **Trouver un système paramétrique de la droite (T) tangente au cercle (γ) en A** : Le centre du cercle est G(2,1,2), le rayon est $AG = \sqrt{(3-2)^2 + (1-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$. La droite tangente au cercle en A est orthogonale à $\overrightarrow{AG}$ car le rayon est perpendiculaire à la tangente. Puisque la tangente passe par A, la direction de (T) est perpendiculaire à $\overrightarrow{AG} = (1,0,-1)$. Pour écrire (T), utilisons le fait que son vecteur directeur $\vec{u}$ est perpendiculaire à $\overrightarrow{AG}$. Choisissons $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (-1,-1,2)$ (vérifions : $$\overrightarrow{AG} \cdot \vec{u} = 1\times(-1) + 0\times(-1) + (-1)\times2 = -1 + 0 - 2 = -3 \neq 0$$ Donc $\overrightarrow{AB}$ ne convient pas. Choisissons $\vec{u} = (1, c, 1)$ tel que: $$\overrightarrow{AG} \cdot \vec{u} = 1\times1 + 0\times c + (-1)\times1 = 1 - 1 = 0$$ Cela fonctionne pour tout $c$. Prenons $\vec{u} = (1,0,1)$. Le système paramétrique de (T) est donc: $$x=3 + t$$ $$y=1$$ $$z=1 + t$$ 5. a) **Calcul de l’aire du triangle ABC** : L’aire est $\frac{1}{2}$ de la norme du produit vectoriel: $$S = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right| = \frac{1}{2} \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{27} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$ 5. b) **Trouver $\alpha$ tel que le volume du tétraèdre ABCM vaut 3** : Le volume est: $$V = \frac{1}{6} \left| \det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM} \right) \right| = 3$$ Donc: $$ \left| \det( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM} ) \right| = 18 $$ Calculons $\overrightarrow{AM} = (1-3, 7-1, \alpha -1) = (-2,6, \alpha -1)$. La matrice formée est $$\begin{vmatrix} -1 & -2 & -2 \\ -1 & 1 & 6 \\ 2 & 1 & \alpha -1 \end{vmatrix}$$ Calculons ce déterminant: $$= -1 (1\times(\alpha-1) - 6\times1) - (-2)(-1\times(\alpha -1) - 6\times 2) + (-2)(-1\times 1 - 2\times 2)$$ $$= -1(\alpha -1 -6) -2(-((\alpha -1)) -12) - 2(-1 -4)$$ $$= -1(\alpha -7) - 2(-\alpha +1 -12) - 2(-5)$$ $$= -\alpha +7 - 2(-\alpha -11) + 10$$ $$= -\alpha +7 + 2\alpha + 22 +10 = \alpha + 39$$ La valeur absolue doit valoir 18 donc: $$|\alpha + 39| = 18$$ Solutions: $$\alpha + 39 = 18 \Rightarrow \alpha = -21$$ ou $$\alpha + 39 = -18 \Rightarrow \alpha = -57$$