1. **Énoncé du problème :** On a les points $A(-2;3)$, $B(4;1)$, et $C(3;-2)$. Nous devons : a) Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. b) Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AC]$. c) Calculer le rayon du cercle de centre $I$ passant par $A$. d) Vérifier si les points $B$ et $C$ appartiennent au cercle $C$. --- 2. **a) Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ :** Un triangle est rectangle en un point si les vecteurs formant les côtés à ce point sont orthogonaux, c'est-à-dire que leur produit scalaire est nul. Calculons les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ : $$\overrightarrow{BA} = A - B = (-2 - 4, 3 - 1) = (-6, 2)$$ $$\overrightarrow{BC} = C - B = (3 - 4, -2 - 1) = (-1, -3)$$ Calcul du produit scalaire : $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-6) \times (-1) + 2 \times (-3) = 6 - 6 = 0$$ Puisque le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. --- 3. **b) Calculer les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AC]$ :** La formule du milieu entre deux points $A(x_A,y_A)$ et $C(x_C,y_C)$ est : $$I = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right)$$ Calcul : $$I = \left( \frac{-2 + 3}{2}, \frac{3 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$$ --- 4. **c) Calculer le rayon du cercle de centre $I$ passant par $A$ :** Le rayon est la distance entre $I$ et $A$ : $$r = \sqrt{(x_A - x_I)^2 + (y_A - y_I)^2}$$ Calcul : $$r = \sqrt{\left(-2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(3 - \frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \sqrt{12.5} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$ --- 5. **d) Vérifier si les points $B$ et $C$ appartiennent au cercle $C$ :** Un point appartient au cercle si sa distance au centre $I$ est égale au rayon. Calcul de la distance $IB$ : $$IB = \sqrt{\left(4 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$ Calcul de la distance $IC$ : $$IC = \sqrt{\left(3 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(-2 - \frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$ Les distances $IB$ et $IC$ sont égales au rayon, donc les points $B$ et $C$ appartiennent au cercle $C$. --- **Réponses finales :** - Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. - Le milieu $I$ de $[AC]$ est $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right)$. - Le rayon du cercle $C$ est $\frac{5\sqrt{2}}{2}$. - Les points $B$ et $C$ appartiennent au cercle $C$.