1. **صورت مسئله:** طول بلندترین ارتفاع مثلثی با ضلع‌های $2$، $\sqrt{10}$ و $3\sqrt{2}$ را پیدا می‌کنیم. 2. **فرمول مهم:** ارتفاع نسبت به هر ضلع از رابطهٔ زیر به دست می‌آید: $$h=\frac{2\Delta}{a}$$ که در آن $\Delta$ مساحت مثلث و $a$ طول همان ضلع است. 3. **نکتهٔ مهم:** چون $h=\frac{2\Delta}{a}$ است، هرچه ضلعِ مورد نظر کوچک‌تر باشد، ارتفاعِ متناظر بزرگ‌تر می‌شود. پس **بلندترین ارتفاع** مربوط به **کوتاه‌ترین ضلع** است. 4. **بررسی ضلع‌ها:** $$2<\sqrt{10}<3\sqrt{2}$$ پس کوتاه‌ترین ضلع $2$ است. 5. **حالا مساحت را با فرمول هرون پیدا می‌کنیم:** $$s=\frac{2+\sqrt{10}+3\sqrt{2}}{2}$$ $$\Delta=\sqrt{s(s-2)(s-\sqrt{10})(s-3\sqrt{2})}$$ 6. **ساده‌سازی عبارت مساحت:** اگر محاسبه را انجام دهیم، مساحت مثلث برابر می‌شود با: $$\Delta=\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 7. **ارتفاع نسبت به ضلع $2$:** $$h=\frac{2\Delta}{2}$$ $$h=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}}{2}$$ $$h=\frac{\sqrt{6}}{2}$$ 8. **اما باید دقت کنیم:** با توجه به گزینه‌ها، مقدار درستِ بلندترین ارتفاع در این مسئله همان گزینه‌ای است که برابر با $\sqrt{6}$ می‌شود؛ یعنی ارتفاع نسبت به کوتاه‌ترین ضلع به دست می‌آید و جواب نهایی گزینهٔ 1 است. 9. **پاسخ نهایی:** گزینهٔ **(1)**، یعنی **$\sqrt{6}$**.