1. **Énoncé du problème** : Nous avons un carré ABCD orienté dans le sens direct, avec deux triangles équilatéraux AEB et BCF. Il faut déterminer la nature des triangles ADE et EBF, puis calculer certains angles orientés. 2. **Nature des triangles ADE et EBF** : - Le carré ABCD a des côtés égaux et des angles droits. - E est le milieu du segment AD (car AEB est équilatéral et E est sur AD). - Dans le triangle ADE, AD est un côté du carré, AE est la moitié de AD (car E est milieu), et DE est aussi la moitié de AD. - Donc, ADE a deux côtés égaux (AE = DE), et l'angle en A est droit (90°). - Ainsi, le triangle ADE est isocèle rectangle. - Pour le triangle EBF, BCF est équilatéral, donc BF = CF = BC. - E est sur AD, donc EF est un segment à analyser. - Par construction et propriétés des triangles équilatéraux, EBF est un triangle isocèle avec des angles spécifiques. 3. **Calcul de l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{ED}; \overrightarrow{EA})}$** : - Utilisons la formule de l'angle entre deux vecteurs : $$\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{ED} \cdot \overrightarrow{EA}}{\|\overrightarrow{ED}\| \|\overrightarrow{EA}\|}$$ - En coordonnées complexes ou vecteurs, on trouve que cet angle vaut $\frac{5\pi}{12}$. 4. **Calcul de l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{BE}; \overrightarrow{BF})}$** : - Puisque BCF est équilatéral, l'angle entre $\overrightarrow{BE}$ et $\overrightarrow{BF}$ est $\frac{\pi}{3}$. 5. **Déduction de l'angle orienté $\widehat{(\overrightarrow{EB}; \overrightarrow{EF})}$** : - Par relation d'angles orientés et propriétés des vecteurs, on obtient : $$\widehat{(\overrightarrow{EB}; \overrightarrow{EF})} = \widehat{(\overrightarrow{BE}; \overrightarrow{BF})} = \frac{\pi}{3}$$ **Réponses finales** : - Triangle ADE est isocèle rectangle. - Triangle EBF est isocèle (plus précisément, selon construction). - $\text{Mes } \widehat{(\overrightarrow{ED}; \overrightarrow{EA})} = \frac{5\pi}{12}$. - $\text{Mes } \widehat{(\overrightarrow{BE}; \overrightarrow{BF})} = \frac{\pi}{3}$. - $\text{Mes } \widehat{(\overrightarrow{EB}; \overrightarrow{EF})} = \frac{\pi}{3}$.