1. **Énoncé du problème :** On a un triangle ABC avec $AC=6$, $AB=3$ et l'angle $\angle A = \frac{\pi}{6}$. On cherche la longueur exacte de $BC$. 2. **Formule utilisée :** On utilise la loi des cosinus qui relie les côtés d'un triangle et l'angle compris : $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\angle A)$$ 3. **Calculs intermédiaires :** Substituons les valeurs : $$BC^2 = 3^2 + 6^2 - 2 \times 3 \times 6 \times \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ $$BC^2 = 9 + 36 - 36 \times \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$$ 4. **Valeur de $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ :** On sait que $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 5. **Remplacement et simplification :** $$BC^2 = 45 - 36 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 45 - 18\sqrt{3}$$ 6. **Conclusion :** La longueur exacte de $BC$ est donc : $$BC = \sqrt{45 - 18\sqrt{3}}$$ C'est la valeur exacte de la longueur du côté $BC$ dans le triangle donné.