1. 問題の確認：△ABCにおいて、AB=4、AC=5、∠A=60°です。まず、(1) △ABCの面積を求めます。 2. 面積の公式：三角形の面積は2辺の長さとその間の角度を使って求められます。 $$\text{面積} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin(\angle A)$$ 3. 代入して計算します。 $$\text{面積} = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \sin 60^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$ 4. 次に(2) 線分ADの長さを求めます。ADは∠Aの二等分線で、二等分線の長さの公式を使います。 $$AD = \frac{2bc \cos \frac{A}{2}}{b+c}$$ ここで、$b=AC=5$, $c=AB=4$, $A=60^\circ$です。 5. 代入して計算します。 $$AD = \frac{2 \times 5 \times 4 \times \cos 30^\circ}{5+4} = \frac{40 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{9} = \frac{20\sqrt{3}}{9}$$ 6. (3) 線分BDの長さを求めます。二等分線の性質より、 $$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5}$$ 7. BCの長さを余弦定理で求めます。 $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos 60^\circ = 4^2 + 5^2 - 2 \times 4 \times 5 \times \frac{1}{2} = 16 + 25 - 20 = 21$$ $$BC = \sqrt{21}$$ 8. BDとDCの比が4:5なので、 $$BD = \frac{4}{4+5} \times BC = \frac{4}{9} \times \sqrt{21} = \frac{4\sqrt{21}}{9}$$ 9. (4) AM : MD の比を求めます。Mは内心なので、内心の性質から、 $$AM : MD = AB : AC = 4 : 5$$ 以上より、 (1) 面積は $5\sqrt{3}$ (2) $AD = \frac{20\sqrt{3}}{9}$ (3) $BD = \frac{4\sqrt{21}}{9}$ (4) $AM : MD = 4 : 5$