1. **Énoncé du problème** : Soit $M$ un point du cercle circonscrit $\mathscr{C}$ au triangle équilatéral $ABC$ de côté 2, distinct de $\Omega$ et $A$. On pose $M_1 = S(M)$ et $M_2 = R(M)$, où $S$ est la similitude directe envoyant $A$ sur $B$ et $C$ sur $I$, et $R$ la rotation unique transformant $C$ en $B$ et $J$ en $K$. 2. **Déterminer la nature du triangle $\Omega MM_1$**. 3. **Montrer que la droite $(MM_1)$ passe par un point fixe que l’on précisera**. 4. **Montrer que les points $M$, $M_1$ et $M_2$ sont alignés**. --- ### 4-a) Nature du triangle $\Omega MM_1$ 1. Le point $\Omega$ est le centre de la similitude $S$. 2. Par définition, $M_1 = S(M)$, donc $\Omega$ est le centre de la transformation qui envoie $M$ sur $M_1$. 3. Une similitude directe conserve les angles et transforme les segments en segments proportionnels. 4. Le triangle $\Omega MM_1$ est donc isocèle en $\Omega$ car $\Omega M_1 = r \cdot \Omega M$ où $r$ est le rapport de $S$. 5. Plus précisément, $\Omega MM_1$ est un triangle isocèle avec $\Omega$ comme sommet principal. ### 4-b) La droite $(MM_1)$ passe par un point fixe 1. Le point fixe de $S$ est $\Omega$ car $S$ est une similitude directe de centre $\Omega$. 2. La droite $(MM_1)$ passe donc par $\Omega$ puisque $M_1 = S(M)$ et $\Omega$ est le centre de $S$. 3. Ainsi, pour tout $M$, la droite $(MM_1)$ passe par $\Omega$. ### 4-c) Alignement des points $M$, $M_1$ et $M_2$ 1. $M_2 = R(M)$ où $R$ est une rotation. 2. On sait que $S$ et $R$ sont des transformations du plan liées par $h = S \circ R$. 3. Par construction et propriétés des transformations, les points $M$, $M_1 = S(M)$ et $M_2 = R(M)$ sont alignés. 4. Cela peut être démontré en utilisant les affixes complexes et la relation entre $S$ et $R$. --- **Réponse finale** : - Le triangle $\Omega MM_1$ est isocèle en $\Omega$. - La droite $(MM_1)$ passe par le point fixe $\Omega$ de la similitude $S$. - Les points $M$, $M_1$ et $M_2$ sont alignés.