1. **הבעיה:** נתון משולש ישר זווית ABC עם $\angle BAC = 90^\circ$, נקודה A ב-$x$ ציר, נקודה E אמצע הצלע AB, $A(-2,0)$, $E(4,9)$. יש למצוא את שיעורי הנקודה B, שיפוע AB, משוואת AC, שיעורי C, להראות ש-ADB שווה שוקיים ולחשב היקף המרובע ADBC. 2. **מציאת נקודת B:** נקודת E היא אמצע AB, לכן $$E = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$$ נתון $E(4,9)$, $A(-2,0)$, לכן $$4 = \frac{-2 + x_B}{2} \Rightarrow 8 = -2 + x_B \Rightarrow x_B = 10$$ $$9 = \frac{0 + y_B}{2} \Rightarrow 18 = y_B \Rightarrow y_B = 18$$ אז נקודת B היא $B(10,18)$. 3. **שיפוע הצלע AB:** השיפוע הוא $$m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{18 - 0}{10 - (-2)} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$ 4. **משוואת הצלע AC:** $\angle BAC = 90^\circ$ ולכן AC מאונך ל-AB. השיפוע של AC הוא ההופכי והשלילי של שיפוע AB: $$m_{AC} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{\frac{3}{2}} = -\frac{2}{3}$$ משוואת ישר העוברת דרך A $(-2,0)$: $$y - 0 = -\frac{2}{3}(x + 2) \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$$ 5. **שיעורי הנקודה C:** הצלע BC מקבילה לציר ה-$x$, לכן $y_C = y_B = 18$. נקודה C נמצאת על AC, לכן $$18 = -\frac{2}{3}x_C - \frac{4}{3}$$ נכפיל ב-3: $$54 = -2x_C - 4 \Rightarrow -2x_C = 58 \Rightarrow x_C = -29$$ אז $C(-29,18)$. 6. **הוכחת שוויון שוקיים במשולש ADB:** נקודות $A(-2,0), B(10,18), D(10,5)$. אורך AD: $$AD = \sqrt{(10 + 2)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ אורך BD: $$BD = \sqrt{(10 - 10)^2 + (18 - 5)^2} = \sqrt{0 + 13^2} = 13$$ AD = BD, לכן המשולש שווה שוקיים. 7. **חישוב היקף המרובע ADBC:** אורך BC: $$BC = |x_C - x_B| = |-29 - 10| = 39$$ אורך CD: $$CD = \sqrt{(10 + 29)^2 + (5 - 18)^2} = \sqrt{39^2 + (-13)^2} = \sqrt{1521 + 169} = \sqrt{1690}$$ היקף: $$P = AB + BC + CD + DA = 13 + 39 + \sqrt{1690} + 13 = 65 + \sqrt{1690}$$ **תשובות סופיות:** - $B(10,18)$ - שיפוע AB: $\frac{3}{2}$ - משוואת AC: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$ - $C(-29,18)$ - משולש ADB שווה שוקיים - היקף ADBC: $65 + \sqrt{1690}$