1. **بيان المسألة:** لدينا مثلث ABC ونقاط A' و B' و C' معرفة بعلاقات متجهية: - A' تحقق العلاقة $$\overrightarrow{BC'} = 3 \overrightarrow{BA'}$$ - B' تحقق العلاقة $$\vec{0} = 2 \overrightarrow{B'A} - 3 \overrightarrow{B'C'}$$ - C' مرجع الجملة $\{(A; 2), (B; -3)\}$ 2. **إنشاء الشكل المناسب:** نرسم مثلث ABC ثم نحدد النقاط A' و B' و C' حسب العلاقات المعطاة. 3. **إثبات أن A' و B' هما مرجع لنقطتين من A, B, C بمعاملين حقيقيين:** - نكتب A' و B' كتركيبات خطية للنقاط A, B, C. - نستخدم العلاقات المعطاة لإيجاد المعاملات الحقيقية. 4. **تفصيل الحل:** - من العلاقة $$\overrightarrow{BC'} = 3 \overrightarrow{BA'}$$، نكتب: $$\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{B}C' - \overrightarrow{B} = 3(\overrightarrow{B}A' - \overrightarrow{B})$$ - بما أن C' مرجع الجملة $\{(A; 2), (B; -3)\}$، إذن: $$\overrightarrow{OC'} = 2 \overrightarrow{OA} - 3 \overrightarrow{OB}$$ - نستخدم هذه المعادلات لإيجاد تعبيرات A' و B' بدلالة A, B, C. 5. **إثبات تقاطع المستقيمات (AA'), (BB') و (CC') في نقطة G:** - نعرف G مرجع الجملة $\{(A; 2), (B; -6), (C; -3)\}$. - نثبت أن G تقع على كل من المستقيمات (AA'), (BB') و (CC') باستخدام تعبيرات المتجهات. 6. **النتيجة النهائية:** - النقاط A' و B' تمثل مراجع خطية للنقاط A, B, C بمعاملات حقيقية. - المستقيمات (AA'), (BB') و (CC') تتقاطع في نقطة واحدة G.