1. **הבעיה:** נתון משולש ישר זווית $ABC$ עם זווית ישרה ב-$A$ ($\angle BAC=90^\circ$). נקודה $A(-2,0)$ על ציר ה-$x$, נקודה $E(4,9)$ היא אמצע הצלע $AB$. יש למצוא את נקודות $B$ ו-$C$, משוואות, שיפועים, ולהוכיח תכונות שונות. 2. **מציאת נקודת $B$:** מאחר ש-$E$ הוא אמצע $AB$, נקודת האמצע היא ממוצע הקואורדינטות: $$x_E=\frac{x_A+x_B}{2},\quad y_E=\frac{y_A+y_B}{2}$$ נציב ונפתור: $$4=\frac{-2+x_B}{2} \Rightarrow 8=-2+x_B \Rightarrow x_B=10$$ $$9=\frac{0+y_B}{2} \Rightarrow 18=y_B$$ לכן, $B(10,18)$. 3. **שיפוע הצלע $AB$:** השיפוע הוא: $$m_{AB}=\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}=\frac{18-0}{10-(-2)}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$$ 4. **משוואת הצלע $AC$:** זווית $BAC$ היא ישרה, לכן $AC$ מאונך ל-$AB$. השיפוע של $AC$ הוא ההופכי והשלילי של $m_{AB}$: $$m_{AC}=-\frac{1}{m_{AB}}=-\frac{2}{3}$$ משוואת הישר $AC$ שעובר דרך $A(-2,0)$ היא: $$y - 0 = -\frac{2}{3}(x + 2) \Rightarrow y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$$ 5. **מציאת נקודת $C$:** הצלע $BC$ מקבילה לציר ה-$x$, לכן $y_C = y_B = 18$. נקודת $C$ נמצאת על הישר $AC$ ולכן: $$18 = -\frac{2}{3}x_C - \frac{4}{3}$$ נכפיל ב-3: $$54 = -2x_C - 4 \Rightarrow -2x_C = 58 \Rightarrow x_C = -29$$ לכן, $C(-29,18)$. 6. **הוכחת שוויון שוקים במשולש $ADB$:** נקודה $D(10,5)$ נתונה. נחשב את אורכי הצלעות $AD$ ו-$BD$: $$AD = \sqrt{(10+2)^2 + (5-0)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ $$BD = \sqrt{(10-10)^2 + (18-5)^2} = \sqrt{0 + 13^2} = 13$$ לכן, $AD = BD$, המשולש $ADB$ שווה שוקים. 7. **חישוב היקף המרובע $ADBC$:** היקף הוא סכום אורכי הצלעות: $$AD = 13$$ $$DB = 13$$ $$BC = |x_B - x_C| = |10 - (-29)| = 39$$ $$CA = \sqrt{(-29+2)^2 + (18-0)^2} = \sqrt{(-27)^2 + 18^2} = \sqrt{729 + 324} = \sqrt{1053} \approx 32.45$$ סכום ההיקף: $$P = 13 + 13 + 39 + 32.45 = 97.45$$ **תשובות סופיות:** - $B(10,18)$ - $m_{AB} = \frac{3}{2}$ - משוואת $AC$: $y = -\frac{2}{3}x - \frac{4}{3}$ - $C(-29,18)$ - משולש $ADB$ שווה שוקים - היקף $ADBC \approx 97.45$