1. **Énoncé du problème :** Calculer les distances $BA$, $BC$ et le produit scalaire $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ pour les points $A(-1,1)$, $B(0,2)$, $C(1,1)$. 2. **Formules utilisées :** - Distance entre deux points $P(x_1,y_1)$ et $Q(x_2,y_2)$ : $$d(P,Q) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ - Produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u} = (u_x,u_y)$ et $\overrightarrow{v} = (v_x,v_y)$ : $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_x v_x + u_y v_y$$ 3. **Calcul des vecteurs :** $$\overrightarrow{BA} = A - B = (-1 - 0, 1 - 2) = (-1, -1)$$ $$\overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 0, 1 - 2) = (1, -1)$$ 4. **Calcul des distances :** $$BA = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ $$BC = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$ 5. **Calcul du produit scalaire :** $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1)(1) + (-1)(-1) = -1 + 1 = 0$$ 6. **Interprétation :** Le produit scalaire nul signifie que les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux. 7. **Nature du triangle ABC :** Puisque $BA = BC$ et $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$, le triangle $ABC$ est isocèle rectangle en $B$. 8. **Calcul de $AC$ :** $$AC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(2)^2 + 0} = 2$$ **Réponse finale :** - $BA = \sqrt{2}$ - $BC = \sqrt{2}$ - $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ - Le triangle $ABC$ est isocèle rectangle en $B$. - $AC = 2$