1. **Énoncé du problème :** Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $ME$ dans le triangle $ABC$ avec les données : $BE=5$, $EA=10$, $BM=2$, $MC=4$, $AF=16$, $AC=24$. 2. **Calcul de $AB$ :** Le point $E$ est sur le segment $AB$ avec $BE=5$ et $EA=10$, donc $$AB = BE + EA = 5 + 10 = 15.$$ 3. **Calcul de $BC$ :** Le point $M$ est sur le segment $BC$ avec $BM=2$ et $MC=4$, donc $$BC = BM + MC = 2 + 4 = 6.$$ 4. **Calcul de $ME$ :** On cherche la longueur $ME$. Le segment $ME$ relie $M$ sur $BC$ à $E$ sur $AB$. 5. **Utilisation du théorème de Thalès :** Les points $E$ et $M$ sont sur les côtés $AB$ et $BC$ respectivement, et $F$ est sur $AC$. On peut appliquer le théorème de Thalès dans le triangle $ABC$ avec la droite $EM$ parallèle à $AC$ (hypothèse implicite pour ce type de problème). 6. **Calcul du rapport :** Le rapport des segments sur $AB$ est $$\frac{BE}{EA} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}.$$ Le rapport des segments sur $BC$ est $$\frac{BM}{MC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$ Les rapports sont égaux, donc $EM$ est parallèle à $AC$. 7. **Calcul de $ME$ :** Puisque $EM$ est parallèle à $AC$, les triangles $BEM$ et $BAC$ sont semblables. Le rapport d'homothétie est $\frac{BE}{BA} = \frac{1}{3}$ car $BA=15$. Donc $$ME = \frac{1}{3} \times AC = \frac{1}{3} \times 24 = 8.$$ 8. **Conclusion pour la première question :** $$AB = 15, \quad BC = 6, \quad ME = 8.$$ --- 9. **Montrer que $\frac{EF}{BC}$ :** On sait que $AF=16$ et $AC=24$, donc $$FC = AC - AF = 24 - 16 = 8.$$ 10. **Utilisation du théorème de Thalès dans le triangle $AFC$ avec la droite $EF$ parallèle à $BC$ :** On a $$\frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}.$$ Donc $$\frac{EF}{BC} = \frac{AF}{AC} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}.$$ 11. **Conclusion :** $$\frac{EF}{BC} = \frac{2}{3}.$$