1. **Énoncé du problème :** Vérifier la véracité des affirmations vectorielles données et écrire leurs réciproques en précisant si elles sont vraies ou fausses. 2. **Affirmation a) :** Si $\overrightarrow{AB} = 3 \overrightarrow{AC}$ alors les points A, B et C sont alignés. - Rappel : Deux vecteurs colinéaires signifient que leurs points extrémités sont alignés. - Ici, $\overrightarrow{AB}$ est un multiple scalaire de $\overrightarrow{AC}$, donc $A$, $B$, $C$ sont alignés. - **Conclusion : Vrai.** 3. **Affirmation b) :** Si $\overrightarrow{AB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{CD}$ alors $(AC) \parallel (BD)$. - $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, mais cela ne garantit pas que les segments $(AC)$ et $(BD)$ soient parallèles. - Contre-exemple : Choisir $A$, $B$, $C$, $D$ non alignés de sorte que $\overrightarrow{AB}$ soit proportionnel à $\overrightarrow{CD}$ mais $(AC)$ et $(BD)$ ne soient pas parallèles. - **Conclusion : Faux.** 4. **Affirmation c) :** Si $ABCD$ est un parallélogramme alors $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}$. - Dans un parallélogramme, $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. - Donc $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}$. - **Conclusion : Vrai.** 5. **Affirmation d) :** Si $ABCD$ est un trapèze alors il existe $k$ tel que $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{CD}$. - Par définition, un trapèze a deux côtés parallèles, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. - Donc il existe un scalaire $k$ tel que $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{CD}$. - **Conclusion : Vrai.** 6. **Réciproques :** - a) Réciproque : Si $A$, $B$, $C$ sont alignés alors $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{AC}$ pour un certain $k$. - Cette affirmation est vraie car l'alignement implique colinéarité. - b) Réciproque : Si $(AC) \parallel (BD)$ alors $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{CD}$. - Faux, car la parallélisme de $(AC)$ et $(BD)$ ne garantit pas la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$. - c) Réciproque : Si $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}$ alors $ABCD$ est un parallélogramme. - Vrai, car cette relation vectorielle caractérise un parallélogramme. - d) Réciproque : S'il existe $k$ tel que $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{CD}$ alors $ABCD$ est un trapèze. - Faux, car la colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne suffit pas à garantir que $ABCD$ est un trapèze (les segments doivent être parallèles et situés sur des côtés opposés). **Résumé final :** a) Vrai, réciproque vraie. b) Faux, réciproque fausse. c) Vrai, réciproque vraie. d) Vrai, réciproque fausse.