1. **بيان المسألة:**
لدينا ثلاث نقاط A، B، C ليست في استقامة.
نريد إنشاء النقطة M بحيث \(\overrightarrow{AM} = 3 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC}\).
ثم نثبت أن النقاط M، B، C تقع على استقامة واحدة.
2. **إنشاء النقطة M:**
نعرف \(\overrightarrow{AM} = 3 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC}\).
هذا يعني أن M هي نقطة يمكن التعبير عنها باستخدام متجهات AB و AC.
3. **إيجاد \(\overrightarrow{CM}\) بدلالة \(\overrightarrow{AB}\) و \(\overrightarrow{AC}\):**
نبدأ بكتابة \(\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AM}\).
نعلم أن \(\overrightarrow{CA} = - \overrightarrow{AC}\)، إذ أن الاتجاه معاكس.
إذاً:
$$
\overrightarrow{CM} = - \overrightarrow{AC} + (3 \overrightarrow{AB} - 2 \overrightarrow{AC}) = 3 \overrightarrow{AB} - 3 \overrightarrow{AC}
$$
4. **إثبات استقامة النقاط M، B، C:**
نلاحظ أن:
$$
\overrightarrow{CM} = 3 \overrightarrow{AB} - 3 \overrightarrow{AC} = 3 (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})
$$
لكن \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\)، إذن:
$$
\overrightarrow{CM} = 3 (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = -3 (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = -3 \overrightarrow{BC}
$$
هذا يعني أن \(\overrightarrow{CM}\) هو مضاعف عددي لـ \(\overrightarrow{BC}\)، مما يدل على أن النقاط C، M، B تقع على استقامة واحدة.
**النتيجة النهائية:**
النقاط M، B، C تقع على استقامة واحدة لأن \(\overrightarrow{CM} = -3 \overrightarrow{BC}\).
Vector Collinearity 7B897E
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.