1. **Énoncé du problème :** Vérifier que $\overrightarrow{A J} = 3 \overrightarrow{A C}$ sachant que $\overrightarrow{J C} = \frac{2}{3} \overrightarrow{J A}$. 2. **Formule et règles importantes :** Pour deux points $X$ et $Y$, $\overrightarrow{X Y} = \overrightarrow{O Y} - \overrightarrow{O X}$ pour un point origine $O$ quelconque. Si $\overrightarrow{J C} = \frac{2}{3} \overrightarrow{J A}$, alors on peut exprimer $\overrightarrow{J A}$ en fonction de $\overrightarrow{J C}$. 3. **Travail intermédiaire :** Partons de $\overrightarrow{J C} = \frac{2}{3} \overrightarrow{J A}$. Cela implique $\overrightarrow{J A} = \frac{3}{2} \overrightarrow{J C}$. Or, $\overrightarrow{A J} = - \overrightarrow{J A} = - \frac{3}{2} \overrightarrow{J C}$. De plus, $\overrightarrow{J C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{J}$ et $\overrightarrow{A C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}$. Posons $\overrightarrow{J} = \overrightarrow{A} + t \overrightarrow{A C}$ pour un certain $t$. Alors, $\overrightarrow{J C} = \overrightarrow{C} - (\overrightarrow{A} + t \overrightarrow{A C}) = (1 - t) \overrightarrow{A C}$. De $\overrightarrow{J A} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{J} = - t \overrightarrow{A C}$. D'après l'équation initiale : $$ (1 - t) \overrightarrow{A C} = \frac{2}{3} (- t \overrightarrow{A C}) $$ Ce qui donne : $$ 1 - t = - \frac{2}{3} t $$ Résolvons pour $t$ : $$ 1 = t - \frac{2}{3} t = \frac{1}{3} t \Rightarrow t = 3 $$ Donc $\overrightarrow{J} = \overrightarrow{A} + 3 \overrightarrow{A C}$. Ainsi : $$ \overrightarrow{A J} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{A} = 3 \overrightarrow{A C} $$ 4. **Conclusion :** La relation $\overrightarrow{A J} = 3 \overrightarrow{A C}$ est vérifiée.