1. \textbf{Đề bài:} Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, AM cắt đường thẳng CD tại điểm N. Kéo dài DM cắt BN tại I. Chứng minh rằng CI vuông góc với AN. 2. \textbf{Phân tích và công thức sử dụng:} - Hình vuông ABCD có các cạnh bằng nhau và các góc vuông 90^\circ. - Sử dụng kiến thức về vectơ, tích vô hướng và tính chất vuông góc: Hai vectơ \vec{u} và \vec{v} vuông góc khi và chỉ khi \vec{u} \cdot \vec{v} = 0. - Sử dụng tọa độ để biểu diễn các điểm và tính toán. 3. \textbf{Giải:} - Giả sử hình vuông ABCD có cạnh bằng 1, đặt A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1). - Điểm M trên BC nên M(1,m) với 0 \le m \le 1. - Vectơ \vec{AM} = (1-0, m-0) = (1,m). - Đường thẳng CD có phương trình: y=1. - Giao điểm N của AM và CD: N có hoành độ x_N, tung độ y_N=1. - Phương trình đường thẳng AM: y = m x. - Tại N, y_N=1 = m x_N \Rightarrow x_N = \frac{1}{m}. - Vậy N(\frac{1}{m},1). - Vectơ \vec{DM} = (1-0, m-1) = (1, m-1). - Đường thẳng DM kéo dài có tham số t: D + t\vec{DM} = (0 + t, 1 + t(m-1)) = (t, 1 + t(m-1)). - Đường thẳng BN: B(1,0), N(\frac{1}{m},1). - Vectơ \vec{BN} = (\frac{1}{m} -1, 1 - 0) = (\frac{1}{m} -1, 1). - Tham số s cho BN: B + s\vec{BN} = (1 + s(\frac{1}{m} -1), 0 + s). - Giao điểm I của DM và BN thỏa mãn: \begin{cases} t = 1 + s(\frac{1}{m} -1) \\ 1 + t(m-1) = s \end{cases} - Thay t từ phương trình thứ nhất vào thứ hai: 1 + (1 + s(\frac{1}{m} -1))(m-1) = s - Mở rộng: 1 + (m-1) + s(\frac{1}{m} -1)(m-1) = s 1 + m -1 + s(\frac{1}{m} -1)(m-1) = s m + s(\frac{1}{m} -1)(m-1) = s - Chuyển s về một phía: s - s(\frac{1}{m} -1)(m-1) = m s[1 - (\frac{1}{m} -1)(m-1)] = m - Tính biểu thức trong ngoặc vuông: (\frac{1}{m} -1)(m-1) = \frac{1}{m}(m-1) -1(m-1) = \frac{m-1}{m} - (m-1) = \frac{m-1}{m} - \frac{m(m-1)}{m} = \frac{m-1 - m(m-1)}{m} = \frac{m-1 - m^2 + m}{m} = \frac{2m -1 - m^2}{m} - Vậy: 1 - (\frac{1}{m} -1)(m-1) = 1 - \frac{2m -1 - m^2}{m} = \frac{m - (2m -1 - m^2)}{m} = \frac{m - 2m +1 + m^2}{m} = \frac{m^2 - m +1}{m} - Do đó: s \cdot \frac{m^2 - m +1}{m} = m \Rightarrow s = \frac{m^2}{m^2 - m +1} - Từ đó t = 1 + s(\frac{1}{m} -1) = 1 + \frac{m^2}{m^2 - m +1}(\frac{1}{m} -1) = 1 + \frac{m^2}{m^2 - m +1} \cdot \frac{1 - m}{m} = 1 - \frac{m^2 (m -1)}{m (m^2 - m +1)} = 1 - \frac{m(m -1)}{m^2 - m +1} = \frac{m^2 - m +1 - m^2 + m}{m^2 - m +1} = \frac{1}{m^2 - m +1} - Vậy I có tọa độ: I_x = t = \frac{1}{m^2 - m +1}, I_y = 1 + t(m-1) = 1 + \frac{1}{m^2 - m +1}(m-1) = \frac{m^2 - m +1 + m -1}{m^2 - m +1} = \frac{m^2}{m^2 - m +1} 4. \textbf{Chứng minh CI vuông góc AN:} - Tọa độ C(1,1), I(\frac{1}{m^2 - m +1}, \frac{m^2}{m^2 - m +1}), A(0,0), N(\frac{1}{m},1). - Vectơ \vec{CI} = (\frac{1}{m^2 - m +1} -1, \frac{m^2}{m^2 - m +1} -1) = (\frac{1 - (m^2 - m +1)}{m^2 - m +1}, \frac{m^2 - (m^2 - m +1)}{m^2 - m +1}) = (\frac{1 - m^2 + m -1}{m^2 - m +1}, \frac{m^2 - m^2 + m -1}{m^2 - m +1}) = (\frac{m - m^2}{m^2 - m +1}, \frac{m -1}{m^2 - m +1}) - Vectơ \vec{AN} = (\frac{1}{m} -0, 1 -0) = (\frac{1}{m}, 1) - Tích vô hướng: \vec{CI} \cdot \vec{AN} = \frac{m - m^2}{m^2 - m +1} \cdot \frac{1}{m} + \frac{m -1}{m^2 - m +1} \cdot 1 = \frac{m - m^2}{m (m^2 - m +1)} + \frac{m -1}{m^2 - m +1} = \frac{m - m^2}{m (m^2 - m +1)} + \frac{m(m -1)}{m (m^2 - m +1)} = \frac{m - m^2 + m^2 - m}{m (m^2 - m +1)} = 0 - Vì tích vô hướng bằng 0 nên \vec{CI} vuông góc với \vec{AN}. \textbf{Kết luận:} Đã chứng minh CI vuông góc với AN theo yêu cầu.