1. **Nêu bài toán:** Chúng ta có hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 2$ và đạo hàm $y' = 4x^3 - 8x$. 2. **Tìm điểm cực trị:** Giải phương trình $y' = 0$ để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0, tức là: $$4x^3 - 8x = 0$$ Ta có thể đặt nhân tử chung: $$4x(x^2 - 2) = 0$$ Suy ra: $$x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$$ 3. **Bảng biến thiên:** - Chọn các khoảng dựa trên nghiệm của $y' = 0$: $(-\infty, -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, 0)$, $(0, \sqrt{2})$, $(\sqrt{2}, +\infty)$. - Xét dấu của $y'$ trên từng khoảng: - Với $x < -\sqrt{2}$, chọn $x = -2$, ta có $y' = 4(-2)^3 - 8(-2) = -32 + 16 = -16 < 0$ nên $y'$ âm. - Với $-\sqrt{2} < x < 0$, chọn $x = -1$, $y' = 4(-1)^3 - 8(-1) = -4 + 8 = 4 > 0$ nên $y'$ dương. - Với $0 < x < \sqrt{2}$, chọn $x = 1$, $y' = 4(1)^3 - 8(1) = 4 - 8 = -4 < 0$ nên $y'$ âm. - Với $x > \sqrt{2}$, chọn $x = 2$, $y' = 4(2)^3 - 8(2) = 32 - 16 = 16 > 0$ nên $y'$ dương. 4. **Ý nghĩa dấu của $y'$:** - Khi $y' > 0$, hàm số tăng. - Khi $y' < 0$, hàm số giảm. - Khi $y' = 0$, có thể là điểm cực trị. 5. **Xác định cực trị:** - Tại $x = -\sqrt{2}$, $y'$ đổi từ âm sang dương, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, nên đây là điểm cực tiểu. - Tại $x = 0$, $y'$ đổi từ dương sang âm, hàm số chuyển từ tăng sang giảm, nên đây là điểm cực đại. - Tại $x = \sqrt{2}$, $y'$ đổi từ âm sang dương, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, nên đây là điểm cực tiểu. 6. **Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị:** - $y(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 + 2 = (\sqrt{2})^4 - 4(2) + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$ - $y(0) = 0^4 - 4 \cdot 0^2 + 2 = 2$ - $y(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 + 2 = 4 - 8 + 2 = -2$ 7. **Kết luận:** - Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị $y_{CĐ} = 2$. - Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm \sqrt{2}$ với giá trị $y_{CT} = -2$. Bảng biến thiên thể hiện rõ sự thay đổi của dấu đạo hàm và giá trị hàm số tương ứng, giúp ta hiểu được sự tăng giảm và các điểm cực trị của hàm số.