1. **Постановка задачі:** Знайти інтеграли за формулами, де $a=4$, $b=9$, $c=8$. 2. **Інтеграл 1:** $\int a \, dx = \int 4 \, dx$ Формула: $\int a \, dx = ax + C$ Обчислення: $$\int 4 \, dx = 4x + C$$ 3. **Інтеграл 2:** $\int c \, dx = \int 8 \, dx$ Обчислення: $$\int 8 \, dx = 8x + C$$ 4. **Інтеграл 3:** $\int x^a \, dx = \int x^4 \, dx$ Формула: $\int x^a \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$, $a \neq -1$ Обчислення: $$\int x^4 \, dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$$ 5. **Інтеграл 4:** $\int x^c \, dx = \int x^8 \, dx$ Обчислення: $$\int x^8 \, dx = \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = \frac{x^9}{9} + C$$ 6. **Інтеграл 5:** $\int \frac{dx}{x^7} = \int x^{-7} \, dx$ Обчислення: $$\int x^{-7} \, dx = \frac{x^{-7+1}}{-7+1} + C = \frac{x^{-6}}{-6} + C = -\frac{1}{6x^6} + C$$ 7. **Інтеграл 6:** $\int \sqrt[b]{x^a} \, dx = \int x^{\frac{a}{b}} \, dx = \int x^{\frac{4}{9}} \, dx$ Обчислення: $$\int x^{\frac{4}{9}} \, dx = \frac{x^{\frac{4}{9}+1}}{\frac{4}{9}+1} + C = \frac{x^{\frac{13}{9}}}{\frac{13}{9}} + C = \frac{9}{13} x^{\frac{13}{9}} + C$$ 8. **Інтеграл 7:** $\int \frac{1}{b \sqrt[xa]{x^a}} \, dx = \int \frac{1}{9 \sqrt[4]{x^4}} \, dx = \int \frac{1}{9 x} \, dx$ Обчислення: $$\int \frac{1}{9x} \, dx = \frac{1}{9} \int \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{9} \ln|x| + C$$ 9. **Інтеграл 8:** $\int \left(a \cdot \left(\frac{b}{b+1} x + a\right)/b\right)^c \, dx = \int \left(4 \cdot \left(\frac{9}{10} x + 4\right)/9\right)^8 \, dx$ Спрощуємо вираз під степенем: $$\frac{9}{10} x + 4 = \frac{9}{10} x + 4$$ $$\frac{4}{9} \left(\frac{9}{10} x + 4\right) = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{10} x + \frac{4}{9} \cdot 4 = \frac{4}{10} x + \frac{16}{9} = 0.4x + 1.777...$$ Отже інтеграл: $$\int (0.4x + 1.777...)^8 \, dx$$ Формула для інтегралу степеневого многочлена: $$\int (kx + m)^n \, dx = \frac{(kx + m)^{n+1}}{k(n+1)} + C$$ Обчислення: $$\int (0.4x + 1.777...)^8 \, dx = \frac{(0.4x + 1.777...)^9}{0.4 \cdot 9} + C = \frac{(0.4x + 1.777...)^9}{3.6} + C$$ 10. **Інтеграл 9:** $\int \frac{a}{bx + c} \, dx = \int \frac{4}{9x + 8} \, dx$ Формула: $$\int \frac{a}{bx + c} \, dx = \frac{a}{b} \ln|bx + c| + C$$ Обчислення: $$\int \frac{4}{9x + 8} \, dx = \frac{4}{9} \ln|9x + 8| + C$$ 11. **Інтеграл 10:** $\int \left(b e^{ax + b} + \frac{a^{x - c}}{c}\right) \, dx = \int \left(9 e^{4x + 9} + \frac{4^{x - 8}}{8}\right) \, dx$ Обчислення: Для першої частини: $$\int 9 e^{4x + 9} \, dx = 9 \cdot \frac{1}{4} e^{4x + 9} + C = \frac{9}{4} e^{4x + 9} + C$$ Для другої частини: $$\int \frac{4^{x - 8}}{8} \, dx = \frac{1}{8} \int 4^{x - 8} \, dx = \frac{1}{8} \cdot \frac{4^{x - 8}}{\ln 4} + C = \frac{4^{x - 8}}{8 \ln 4} + C$$ Отже сумарно: $$\int \left(9 e^{4x + 9} + \frac{4^{x - 8}}{8}\right) \, dx = \frac{9}{4} e^{4x + 9} + \frac{4^{x - 8}}{8 \ln 4} + C$$ 12. **Інтеграл 11:** $\int \left(a \sin x - \cos bx - \frac{1}{c \sin^2 x} + \frac{1}{d \cos^2 x}\right) \, dx = \int \left(4 \sin x - \cos 9x - \frac{1}{8 \sin^2 x} + \frac{1}{9 \cos^2 x}\right) \, dx$ Обчислення по частинах: $$\int 4 \sin x \, dx = -4 \cos x + C$$ $$\int -\cos 9x \, dx = - \frac{\sin 9x}{9} + C$$ $$\int -\frac{1}{8 \sin^2 x} \, dx = -\frac{1}{8} \int \csc^2 x \, dx = -\frac{1}{8} (-\cot x) + C = \frac{1}{8} \cot x + C$$ $$\int \frac{1}{9 \cos^2 x} \, dx = \frac{1}{9} \int \sec^2 x \, dx = \frac{1}{9} \tan x + C$$ Складаємо: $$-4 \cos x - \frac{\sin 9x}{9} + \frac{1}{8} \cot x + \frac{1}{9} \tan x + C$$ **Відповідь:** 1) $4x + C$ 2) $8x + C$ 3) $\frac{x^5}{5} + C$ 4) $\frac{x^9}{9} + C$ 5) $-\frac{1}{6x^6} + C$ 6) $\frac{9}{13} x^{\frac{13}{9}} + C$ 7) $\frac{1}{9} \ln|x| + C$ 8) $\frac{(0.4x + 1.777...)^9}{3.6} + C$ 9) $\frac{4}{9} \ln|9x + 8| + C$ 10) $\frac{9}{4} e^{4x + 9} + \frac{4^{x - 8}}{8 \ln 4} + C$ 11) $-4 \cos x - \frac{\sin 9x}{9} + \frac{1}{8} \cot x + \frac{1}{9} \tan x + C$