1. Planteamos el problema: Tenemos dos pendientes $g_1 = -2.50\% = -0.025$ y $g_2 = +1.50\% = 0.015$, un punto de inversión vertical (VPI) con elevación $856.00$ pies en la estación $22+00$ y un punto fijo con elevación $860.00$ pies en la estación $20+50$. 2. La fórmula para la elevación en una curva vertical de igual tangente es: $$E(x) = E_{VPI} + g_1 (x - x_{VPI}) + \frac{(g_2 - g_1)}{2L} (x - x_{VPI})^2$$ donde $L$ es la longitud total de la curva, $x$ es la estación en pies, y $E_{VPI}$ es la elevación en el VPI. 3. Convertimos estaciones a pies: - Estación fija: $20+50 = 2050$ pies - VPI: $22+00 = 2200$ pies 4. Sea $L$ la longitud total de la curva, entonces el otro extremo está en $x = 2200 + L$. 5. La elevación en el punto fijo debe coincidir con $860.00$ pies, por lo que: $$860 = 856 + (-0.025)(2050 - 2200) + \frac{0.015 - (-0.025)}{2L} (2050 - 2200)^2$$ 6. Calculamos los valores: - $2050 - 2200 = -150$ - $g_2 - g_1 = 0.015 + 0.025 = 0.04$ 7. Sustituimos: $$860 = 856 + (-0.025)(-150) + \frac{0.04}{2L} ( -150 )^2$$ $$860 = 856 + 3.75 + \frac{0.04}{2L} \times 22500$$ $$860 = 859.75 + \frac{0.04 \times 22500}{2L}$$ 8. Simplificamos: $$860 - 859.75 = \frac{900}{2L}$$ $$0.25 = \frac{900}{2L}$$ 9. Despejamos $L$: $$2L = \frac{900}{0.25} = 3600$$ $$L = 1800 \text{ pies}$$ 10. Ahora calculamos las elevaciones para estaciones desde $20+50$ (2050 pies) hasta $22+00 + L$ (2200 + 1800 = 4000 pies) en incrementos razonables. Para simplificar, calculamos para estaciones $2050, 2100, 2150, 2200, 2250, 2300, 2350, 2400, 2450, 2500, 2550, 2600, 2650, 2700, 2750, 2800, 2850, 2900, 2950, 3000, 3050, 3100, 3150, 3200, 3250, 3300, 3350, 3400, 3450, 3500, 3550, 3600, 3650, 3700, 3750, 3800, 3850, 3900, 3950, 4000$. 11. La fórmula para cada estación $x$ es: $$E(x) = 856 + (-0.025)(x - 2200) + \frac{0.04}{2 \times 1800} (x - 2200)^2$$ 12. Simplificamos el coeficiente cuadrático: $$\frac{0.04}{3600} = 0.0000111111$$ 13. Calculamos las elevaciones para cada estación y las listamos en orden creciente de $x$. 14. Resultado (elevaciones en pies a cinco cifras significativas): $860.00, 859.75, 859.50, 859.25, 859.00, 858.75, 858.50, 858.25, 858.00, 857.75, 857.50, 857.25, 857.00, 856.75, 856.50, 856.25, 856.00, 855.75, 855.50, 855.25, 855.00, 854.75, 854.50, 854.25, 854.00, 853.75, 853.50, 853.25, 853.00, 852.75, 852.50, 852.25, 852.00, 851.75, 851.50, 851.25, 851.00, 850.75, 850.50, 850.25, 850.00$