1. We gaan het gebied onder de grafiek van de functie $f(x) = x^2$ over het interval $[0,1]$ benaderen. 2. **Ondersommen**: We verdelen het interval $[0,1]$ in $n$ gelijke deelintervallen van lengte $\frac{1}{n}$. 3. Omdat $f$ stijgend is, is de kleinste functiewaarde op elk deelinterval de waarde aan het linkerpunt, dus de hoogte van de rechthoek op het $i$-de deelinterval is $f\left(x_{i-1}\right) = \left(\frac{i-1}{n}\right)^2$. 4. De oppervlakte van elke rechthoek is dus $f\left(x_{i-1}\right) \times \frac{1}{n} = \left(\frac{i-1}{n}\right)^2 \times \frac{1}{n} = \frac{(i-1)^2}{n^3}$. 5. De ondersom $s_n$ is de som van de oppervlaktes van deze rechthoeken: $$ s_n = \sum_{i=1}^n f\left(x_{i-1}\right) \times \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^n \frac{(i-1)^2}{n^3} = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n (i-1)^2 $$ 6. We gebruiken de formule voor de som van kwadraten: $$ \sum_{k=0}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} $$ 7. Dus: $$ s_n = \frac{1}{n^3} \times \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2} $$ 8. Dit is een benadering van de oppervlakte onder de grafiek van $f$ door rechthoeken die onder de grafiek liggen (ondersommen). 9. **Bovensommen**: We gebruiken dezelfde verdeling, maar nu is de hoogte van elke rechthoek de grootste functiewaarde op het deelinterval. 10. Omdat $f$ stijgt, is de grootste waarde op het $i$-de deelinterval $f(x_i) = \left(\frac{i}{n}\right)^2$. 11. De oppervlakte van elke rechthoek is dan $f(x_i) \times \frac{1}{n} = \left(\frac{i}{n}\right)^2 \times \frac{1}{n} = \frac{i^2}{n^3}$. 12. De bovensom $S_n$ is: $$ S_n = \sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3} = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{n^3} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} $$ 13. Bovensommen benaderen de oppervlakte door rechthoeken die boven de grafiek liggen. 14. Door $n$ steeds groter te maken, worden ondersommen en bovensommen steeds dichter bij de werkelijke oppervlakte onder de grafiek, wat de integraal van $f$ over $[0,1]$ is. 15. De exacte oppervlakte is: $$ \lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} $$