1. Masalah: Tentukan grafik kemonotonan dan kecekungan fungsi $$f(x) = x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{1}{3}}$$. 2. Turunan pertama untuk kemonotonan: $$f'(x) = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$$ 3. Sederhanakan turunan pertama: $$f'(x) = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}$$ 4. Cari titik kritis dengan menyamakan turunan pertama dengan nol: $$\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}} - \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}} = 0$$ Kalikan kedua sisi dengan $$3x^{\frac{2}{3}}$$: $$4x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} - 1 = 0$$ $$4x - 1 = 0$$ $$x = \frac{1}{4}$$ 5. Turunan kedua untuk kecekungan: $$f''(x) = \frac{4}{9}x^{-\frac{2}{3}} + \frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}}$$ 6. Tentukan tanda turunan pertama dan kedua di interval: - Untuk $$x < 0$$, perhatikan domain dan tanda turunan. - Untuk $$0 < x < \frac{1}{4}$$ dan $$x > \frac{1}{4}$$, evaluasi tanda turunan. 7. Kesimpulan: - Fungsi naik jika $$f'(x) > 0$$ dan turun jika $$f'(x) < 0$$. - Fungsi cekung ke atas jika $$f''(x) > 0$$ dan cekung ke bawah jika $$f''(x) < 0$$. Jawaban akhir: Titik kritis di $$x=\frac{1}{4}$$ menentukan perubahan kemonotonan. Turunan kedua positif untuk $$x > 0$$, sehingga fungsi cekung ke atas di domain positif.