1. **Nêu bài toán:** Cho hàm chi phí biên $MC(x) = 1.1 (x + 1200)^{0.1}$ và hàm doanh thu biên $MR(x) = 3 + \frac{1}{\sqrt{0.3x + 5}}$ với $x$ là số nghìn sản phẩm. Chi phí cố định là 250 (nghìn USD), sản lượng tối đa là 100 nghìn sản phẩm. Yêu cầu: a) Tìm hàm lợi nhuận $P(x)$. b) Tính đạo hàm $P'(100)$ và giải thích ý nghĩa. c) Tìm mức sản lượng tối ưu để lợi nhuận lớn nhất và giá trị lợi nhuận đó. 2. **Công thức và quy tắc:** - Lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x)$, trong đó $R(x)$ là doanh thu, $C(x)$ là chi phí. - Doanh thu biên $MR(x) = R'(x)$, chi phí biên $MC(x) = C'(x)$. - Tích phân đạo hàm biên để tìm hàm tổng: $$R(x) = \int MR(x) dx + R(0), \quad C(x) = \int MC(x) dx + C(0)$$ - Chi phí cố định $C(0) = 250$. 3. **Tính hàm doanh thu $R(x)$:** $$R(x) = \int \left(3 + \frac{1}{\sqrt{0.3x + 5}}\right) dx = \int 3 dx + \int \frac{1}{\sqrt{0.3x + 5}} dx$$ - Tích phân đầu: $$\int 3 dx = 3x$$ - Tích phân thứ hai: Đặt $u = 0.3x + 5 \Rightarrow du = 0.3 dx \Rightarrow dx = \frac{du}{0.3}$ $$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{0.3} = \frac{1}{0.3} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{0.3} \cdot 2 u^{1/2} + C = \frac{2}{0.3} \sqrt{0.3x + 5} + C$$ - Do đó: $$R(x) = 3x + \frac{20}{3} \sqrt{0.3x + 5} + R(0)$$ - Tại $x=0$, doanh thu $R(0)$ thường là 0 (không bán không có doanh thu), nên $R(0) = 0$. 4. **Tính hàm chi phí $C(x)$:** $$C(x) = \int 1.1 (x + 1200)^{0.1} dx + 250$$ - Tích phân: $$\int (x + 1200)^{0.1} dx = \frac{(x + 1200)^{1.1}}{1.1} + C$$ - Nhân với 1.1: $$\int 1.1 (x + 1200)^{0.1} dx = (x + 1200)^{1.1} + C$$ - Do đó: $$C(x) = (x + 1200)^{1.1} + 250$$ 5. **Hàm lợi nhuận $P(x)$:** $$P(x) = R(x) - C(x) = 3x + \frac{20}{3} \sqrt{0.3x + 5} - (x + 1200)^{1.1} - 250$$ 6. **Tính đạo hàm $P'(x)$:** $$P'(x) = R'(x) - C'(x) = MR(x) - MC(x) = \left(3 + \frac{1}{\sqrt{0.3x + 5}}\right) - 1.1 (x + 1200)^{0.1}$$ 7. **Tính $P'(100)$:** - Tính từng phần: $$MR(100) = 3 + \frac{1}{\sqrt{0.3 \times 100 + 5}} = 3 + \frac{1}{\sqrt{30 + 5}} = 3 + \frac{1}{\sqrt{35}} \approx 3 + 0.169 = 3.169$$ $$MC(100) = 1.1 (100 + 1200)^{0.1} = 1.1 (1300)^{0.1}$$ - Tính $1300^{0.1}$: $$1300^{0.1} = e^{0.1 \ln 1300} \approx e^{0.1 \times 7.1701} = e^{0.717} \approx 2.048$$ - Vậy: $$MC(100) \approx 1.1 \times 2.048 = 2.253$$ - Do đó: $$P'(100) = 3.169 - 2.253 = 0.916$$ **Ý nghĩa:** $P'(100) > 0$ nghĩa là tại sản lượng 100 nghìn sản phẩm, lợi nhuận đang tăng, doanh nghiệp có thể tăng sản lượng để tăng lợi nhuận. 8. **Tìm mức sản lượng tối ưu $x^*$ để lợi nhuận lớn nhất:** - Tại điểm cực trị: $$P'(x^*) = 0 \Rightarrow MR(x^*) = MC(x^*)$$ - Phương trình: $$3 + \frac{1}{\sqrt{0.3x^* + 5}} = 1.1 (x^* + 1200)^{0.1}$$ - Phương trình này không thể giải chính xác bằng tay, ta dùng phương pháp số hoặc thử giá trị. - Thử $x=100$ ta có $P'(100) > 0$, thử $x=200$ (vượt giới hạn 100 nghìn sản phẩm) không hợp lệ. - Vì sản lượng tối đa là 100 nghìn, và $P'(100) > 0$, lợi nhuận tăng trên toàn bộ khoảng $[0,100]$. - Vậy mức sản lượng tối ưu là $x^* = 100$ nghìn sản phẩm. 9. **Tính lợi nhuận lớn nhất $P(100)$:** - Tính từng phần: $$R(100) = 3 \times 100 + \frac{20}{3} \sqrt{0.3 \times 100 + 5} = 300 + \frac{20}{3} \sqrt{35}$$ $$\sqrt{35} \approx 5.916$$ $$R(100) \approx 300 + \frac{20}{3} \times 5.916 = 300 + 39.44 = 339.44$$ $$C(100) = (100 + 1200)^{1.1} + 250 = 1300^{1.1} + 250$$ - Tính $1300^{1.1}$: $$1300^{1.1} = 1300^{1} \times 1300^{0.1} = 1300 \times 2.048 = 2662.4$$ - Vậy: $$C(100) = 2662.4 + 250 = 2912.4$$ - Lợi nhuận: $$P(100) = R(100) - C(100) = 339.44 - 2912.4 = -2572.96$$ - Kết quả lợi nhuận âm cho thấy chi phí rất lớn, có thể cần xem lại giả thiết hoặc giới hạn sản lượng. **Tóm tắt:** a) $P(x) = 3x + \frac{20}{3} \sqrt{0.3x + 5} - (x + 1200)^{1.1} - 250$ b) $P'(100) \approx 0.916$, lợi nhuận đang tăng tại $x=100$ c) Mức sản lượng tối ưu là $x^* = 100$ nghìn sản phẩm, lợi nhuận lớn nhất $P(100) \approx -2572.96$ (nghìn USD).