1. Állítsuk össze a kombinatorika alapjait: a kombinációk és permutációk fogalma, valamint a képletek. 2. Permutációk: Az $n$ elem összes lehetséges sorrendje, képlete: $$P_n = n!$$ 3. Permutációk ismétléssel: Ha vannak ismétlődő elemek, akkor $$P_{n_1,n_2,...,n_k} = \frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!}$$ 4. Kombinációk: Az $n$ elem közül $k$ elem kiválasztása sorrend nélkül, képlete: $$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ 5. Kombinációk ismétléssel: $$C_{n+k-1}^k = \binom{n+k-1}{k}$$ 6. Ismételjük át a faktoriális fogalmát: $$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$$ 7. Példa: Hányféleképpen lehet 5 könyvet sorba rendezni? Megoldás: $$5! = 120$$ 8. Példa: Hányféleképpen választhatunk ki 3 diákot 10-ből? Megoldás: $$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!7!} = 120$$ 9. Példa: Hányféleképpen lehet 7 betűből 3-at kiválasztani ismétlés nélkül? Megoldás: $$\binom{7}{3} = 35$$ 10. Példa: Hányféleképpen lehet 3 golyót kiválasztani 5 féle golyóból ismétléssel? Megoldás: $$\binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3} = 35$$ 11. Példa: Hányféleképpen lehet 4 betűt sorba rendezni, ha az egyik betű kétszer szerepel? Megoldás: $$\frac{4!}{2!} = 12$$ 12. Példa: Hányféleképpen lehet 6 ember közül 2-t kiválasztani és sorrendbe állítani? Megoldás: $$P_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = 30$$ 13. Példa: Hányféleképpen lehet 8 különböző színből 3-at kiválasztani? Megoldás: $$\binom{8}{3} = 56$$ 14. Példa: Hányféleképpen lehet 5 különböző könyvet 3 polcra elhelyezni, ha a sorrend számít? Megoldás: $$P_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = 60$$ 15. Példa: Hányféleképpen lehet 4 különböző színből 2-t kiválasztani ismétléssel? Megoldás: $$\binom{4+2-1}{2} = \binom{5}{2} = 10$$ 16. Példa: Hányféleképpen lehet 7 betűből 4-et kiválasztani és sorba rendezni? Megoldás: $$P_7^4 = \frac{7!}{3!} = 840$$ 17. Példa: Hányféleképpen lehet 6 különböző golyót 3 dobozba helyezni, ha a sorrend nem számít? Megoldás: $$\binom{6+3-1}{3-1} = \binom{8}{2} = 28$$ 18. Példa: Hányféleképpen lehet 5 különböző betűből 3-at kiválasztani ismétléssel? Megoldás: $$\binom{5+3-1}{3} = \binom{7}{3} = 35$$ 19. Példa: Hányféleképpen lehet 4 különböző színből 4-et sorba rendezni? Megoldás: $$4! = 24$$ 20. Példa: Hányféleképpen lehet 10 ember közül 4-et kiválasztani? Megoldás: $$\binom{10}{4} = 210$$ 21. Példa: Hányféleképpen lehet 3 különböző betűt sorba rendezni, ha az egyik betű kétszer szerepel? Megoldás: $$\frac{3!}{2!} = 3$$ 22. Példa: Hányféleképpen lehet 6 különböző golyót 2 dobozba helyezni, ha a sorrend számít? Megoldás: $$P_6^2 = \frac{6!}{4!} = 30$$ 23. Példa: Hányféleképpen lehet 7 különböző betűből 5-öt kiválasztani? Megoldás: $$\binom{7}{5} = 21$$ 24. Példa: Hányféleképpen lehet 5 különböző színből 2-t kiválasztani? Megoldás: $$\binom{5}{2} = 10$$ 25. Példa: Hányféleképpen lehet 8 különböző betűből 3-at sorba rendezni? Megoldás: $$P_8^3 = \frac{8!}{5!} = 336$$ 26. Példa: Hányféleképpen lehet 4 különböző golyót 4 dobozba helyezni ismétléssel? Megoldás: $$\binom{4+4-1}{4} = \binom{7}{4} = 35$$ 27. Példa: Hányféleképpen lehet 6 különböző betűből 3-at kiválasztani ismétléssel? Megoldás: $$\binom{6+3-1}{3} = \binom{8}{3} = 56$$ 28. Példa: Hányféleképpen lehet 5 különböző betűt sorba rendezni? Megoldás: $$5! = 120$$ Ez a 28 feladat lefedi a kombinatorika alapvető témaköreit, a permutációkat, kombinációkat, ismétléssel és ismétlés nélkül, valamint a faktoriális fogalmát és alkalmazását.