1. Stwierdźmy problem: chcemy znaleźć liczbę czterocyfrowych liczb całkowitych o różnych cyfrach, które są mniejsze od 4352. 2. Liczby czterocyfrowe to liczby od 1000 do 9999. 3. Warunek: liczba musi być mniejsza niż 4352 oraz cyfry muszą być różne. 4. Rozważmy przypadki w zależności od pierwszej cyfry (tysięcy): - Pierwsza cyfra może być 1, 2, 3 lub 4 (bo liczba jest mniejsza niż 4352). 5. Przypadek 1: pierwsza cyfra to 1, 2 lub 3. - Wtedy liczba jest na pewno mniejsza niż 4352. - Druga cyfra: wybieramy spośród 0-9, ale różna od pierwszej cyfry (9 możliwości). - Trzecia cyfra: spośród 0-9, różna od pierwszej i drugiej (8 możliwości). - Czwarta cyfra: spośród 0-9, różna od trzech poprzednich (7 możliwości). - Liczba takich liczb: $3 \times 9 \times 8 \times 7 = 1512$. 6. Przypadek 2: pierwsza cyfra to 4. - Liczba musi być mniejsza niż 4352. - Druga cyfra może być 0,1,2,3 (bo jeśli druga cyfra jest większa niż 3, liczba będzie większa lub równa 4400). - Rozpatrzmy podprzypadki dla drugiej cyfry: a) Druga cyfra = 0,1,2 - Trzecia cyfra: dowolna z 0-9, różna od pierwszej i drugiej (8 możliwości). - Czwarta cyfra: dowolna z 0-9, różna od pierwszych trzech (7 możliwości). - Liczba takich liczb: $3 \times 8 \times 7 = 168$. b) Druga cyfra = 3 - Teraz liczba zaczyna się od 43. - Trzecia cyfra musi być mniejsza niż 5 (bo 435x), czyli 0,1,2,4 (cyfra 3 jest zajęta), więc możliwe cyfry to 0,1,2,4 (4 możliwości). - Czwarta cyfra musi być mniejsza niż 2, jeśli trzecia cyfra to 5, ale tu trzecia cyfra jest mniejsza niż 5, więc czwarta cyfra może być dowolna z 0-9, różna od pierwszych trzech. - Jednak musimy uwzględnić, że liczba jest mniejsza niż 4352, więc jeśli trzecia cyfra jest 4, czwarta cyfra musi być mniejsza niż 2. - Rozpatrzmy trzecie cyfry: i) Trzecia cyfra = 0,1,2 - Czwarta cyfra: dowolna z 0-9, różna od pierwszych trzech (7 możliwości). - Liczba: $3 \times 7 = 21$. ii) Trzecia cyfra = 4 - Czwarta cyfra musi być mniejsza niż 2, czyli 0 lub 1, ale różna od 4,3, i 4 (już zajęte 4 i 3), więc możliwe cyfry to 0 lub 1 (2 możliwości). - Liczba: $2$. - Razem dla drugiej cyfry 3: $21 + 2 = 23$. - Razem dla pierwszej cyfry 4: $168 + 23 = 191$. 7. Sumujemy wyniki z obu przypadków: $$1512 + 191 = 1703$$ 8. Odpowiedź: Istnieje $1703$ czterocyfrowych liczb całkowitych o różnych cyfrach, które są mniejsze od 4352.