1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión lógica $$((p \lor q) \land (\neg p \lor r)) \lor ((p \land r) \lor (q \land \neg r))$$ y calcular su valor de verdad para $$p = \text{falso}, q = \text{falso}, r = \text{verdadero}$$. 2. Recordemos las reglas básicas de álgebra booleana: - $$p \lor \neg p = 1$$ (ley del complemento) - $$p \land 1 = p$$ - $$p \lor 0 = p$$ - Distribución, asociatividad y conmutatividad. 3. Simplificamos paso a paso: $$((p \lor q) \land (\neg p \lor r)) \lor ((p \land r) \lor (q \land \neg r))$$ Distribuimos el primer término: $$= ((p \land \neg p) \lor (p \land r) \lor (q \land \neg p) \lor (q \land r)) \lor ((p \land r) \lor (q \land \neg r))$$ Simplificamos $$p \land \neg p = 0$$: $$= (0 \lor (p \land r) \lor (q \land \neg p) \lor (q \land r)) \lor ((p \land r) \lor (q \land \neg r))$$ Quitamos ceros: $$= (p \land r) \lor (q \land \neg p) \lor (q \land r) \lor (p \land r) \lor (q \land \neg r)$$ Observamos que $$p \land r$$ aparece dos veces, simplificamos: $$= (p \land r) \lor (q \land \neg p) \lor (q \land r) \lor (q \land \neg r)$$ Agrupamos términos con $$q$$: $$= (p \land r) \lor q \land (\neg p \lor r \lor \neg r)$$ Sabemos que $$r \lor \neg r = 1$$, entonces: $$= (p \land r) \lor q \land (\neg p \lor 1)$$ Como $$\neg p \lor 1 = 1$$: $$= (p \land r) \lor q$$ Esta es la expresión simplificada. 4. Ahora calculamos el valor de verdad con $$p = F, q = F, r = V$$: $$p \land r = F \land V = F$$ $$q = F$$ Entonces: $$F \lor F = F$$ Por lo tanto, el valor de verdad es falso. Respuesta final: A) La expresión simplificada es $$ (p \land r) \lor q $$. B) El valor de verdad para $$p=F, q=F, r=V$$ es falso.