1. Problemet handlar om att bestämma arean av parallellogrammet som spänns upp av vektorerna $\mathbf{u} = (-4, 2, 3)$ och $\mathbf{v} = (4, -1, -3)$.\n\n2. Arean av parallellogrammet som spänns upp av två vektorer $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ i tre dimensioner ges av formeln:\n$$\text{Area} = \| \mathbf{u} \times \mathbf{v} \|$$\nDär $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ är kryssprodukten av $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$, och $\| \cdot \|$ är vektorns längd (norm).\n\n3. Beräkna kryssprodukten $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$:\n$$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & -3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot (-3) - 3 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(-4 \cdot (-3) - 3 \cdot 4) + \mathbf{k}(-4 \cdot (-1) - 2 \cdot 4)$$\nFörenkla varje komponent:\n$$= \mathbf{i}(-6 + 3) - \mathbf{j}(12 - 12) + \mathbf{k}(4 - 8) = \mathbf{i}(-3) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-4)$$\nAlltså:\n$$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = (-3, 0, -4)$$\n\n4. Beräkna längden av kryssprodukten för att få arean:\n$$\| \mathbf{u} \times \mathbf{v} \| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = \sqrt{25} = 5$$\n\n5. Slutsats: Arean av parallellogrammet som spänns upp av $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ är $5$.