1. Задача: Найти обратную матрицу для матрицы $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & N \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$. 2. Формула для обратной матрицы: $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathrm{adj}(A)$$, где $\det(A)$ — определитель матрицы, а $\mathrm{adj}(A)$ — присоединённая матрица. 3. Сначала найдём определитель $\det(A)$: $$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} + N \cdot \begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix}$$ 4. Вычислим миноры: $$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 0$$ $$\begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = -1$$ 5. Подставим в формулу определителя: $$\det(A) = 1 \cdot 0 - 0 + N \cdot (-1) = -N$$ 6. Для обратной матрицы $\det(A) \neq 0$, значит $N \neq 0$. 7. Найдём матрицу алгебраических дополнений (кофакторов): - $C_{11} = \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 0$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $C_{13} = \begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = -1$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix}0 & N \\ 1 & 1\end{vmatrix} = - (0 \cdot 1 - 1 \cdot N) = N$ - $C_{22} = \begin{vmatrix}1 & N \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot N = 1 - N$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = - (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = -1$ - $C_{31} = \begin{vmatrix}0 & N \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 1 \cdot N = -N$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix}1 & N \\ 0 & 1\end{vmatrix} = - (1 \cdot 1 - 0 \cdot N) = -1$ - $C_{33} = \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 0 = 1$ 8. Матрица кофакторов: $$C = \begin{pmatrix}0 & 1 & -1 \\ N & 1 - N & -1 \\ -N & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 9. Транспонируем матрицу кофакторов, чтобы получить присоединённую матрицу: $$\mathrm{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix}0 & N & -N \\ 1 & 1 - N & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 10. Обратная матрица: $$A^{-1} = \frac{1}{-N} \begin{pmatrix}0 & N & -N \\ 1 & 1 - N & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\ -\frac{1}{N} & \frac{N-1}{N} & \frac{1}{N} \\ \frac{1}{N} & \frac{1}{N} & -\frac{1}{N} \end{pmatrix}$$ Ответ: обратная матрица существует при $N \neq 0$ и равна $$A^{-1} = \begin{pmatrix}0 & -1 & 1 \\ -\frac{1}{N} & \frac{N-1}{N} & \frac{1}{N} \\ \frac{1}{N} & \frac{1}{N} & -\frac{1}{N} \end{pmatrix}$$.