1. **Problem statement:** Löse Aufgabe 12, das heißt, stelle einen der Vektoren a, b, c oder d als Linearkombination der anderen drei dar. 2. **Gegebene Vektoren:** Für Teil a): $$a=\begin{pmatrix}-1 \\ 0\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix}, c=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}, d=\begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix}$$ Für Teil b): $$a=\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}, b=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}, c=\begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix}, d=\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}$$ 3. **Formel und Vorgehen:** Ein Vektor $\mathbf{v}$ ist eine Linearkombination der Vektoren $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$, wenn es Skalare $\alpha, \beta, \gamma$ gibt, so dass: $$\mathbf{v} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y} + \gamma \mathbf{z}$$ Wir wählen einen Vektor aus a, b, c, d und versuchen, ihn als Linearkombination der anderen drei zu schreiben. Das bedeutet, wir lösen ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten. --- ### Teil a) Wir versuchen $d$ als Linearkombination von $a, b, c$ darzustellen: $$d = x a + y b + z c$$ Setze die Komponenten ein: $$\begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix} = x \begin{pmatrix}-1 \\ 0\end{pmatrix} + y \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} + z \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x + z \\ 0\end{pmatrix}$$ Vergleiche Komponenten: 1. $3 = -x + z$ 2. $-3 = 0$ Die zweite Gleichung ist falsch, also kann $d$ nicht als Linearkombination von $a, b, c$ dargestellt werden. Versuchen wir stattdessen $a$ als Linearkombination von $b, c, d$: $$a = p b + q c + r d$$ $$\begin{pmatrix}-1 \\ 0\end{pmatrix} = p \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} + q \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}3 \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}q + 3r \\ -3r\end{pmatrix}$$ Vergleiche Komponenten: 1. $-1 = q + 3r$ 2. $0 = -3r \Rightarrow r=0$ Setze $r=0$ in erste Gleichung: $$-1 = q + 0 \Rightarrow q = -1$$ $p$ ist frei, da $b$ ist Nullvektor, also: $$a = -1 c + 0 b + 0 d$$ Also: $$a = -1 c$$ --- ### Teil b) Versuchen wir $d$ als Linearkombination von $a, b, c$: $$d = x a + y b + z c$$ $$\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} = x \begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix} + y \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} + z \begin{pmatrix}-1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x + 0 + (-1)z \\ -x + y + 2z\end{pmatrix}$$ Vergleiche Komponenten: 1. $3 = 2x - z$ 2. $0 = -x + y + 2z$ Löse Gleichung 1 nach $z$: $$z = 2x - 3$$ Setze in Gleichung 2 ein: $$0 = -x + y + 2(2x - 3) = -x + y + 4x - 6 = 3x + y - 6$$ Löse nach $y$: $$y = 6 - 3x$$ Wähle $x = t$ frei, dann: $$z = 2t - 3, \quad y = 6 - 3t$$ Somit: $$d = t a + (6 - 3t) b + (2t - 3) c$$ Für $t=0$: $$d = 0 a + 6 b - 3 c$$ --- **Endergebnis:** - Teil a): $a = -1 c$ - Teil b): $d = 6 b - 3 c$