1. Problem: Gegeben ist die quadratische Matrix $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & -4 \\ -2 & 3 & 2 & 0 & 5 \\ 2 & -2 & -3 & 5 & -5 \\ 2 & -3 & -3 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & -4 & -4 & 3 \end{pmatrix}$$ (a) Wandeln Sie die Matrix A um in eine obere Dreiecksmatrix, ohne den Wert ihrer Determinanten zu verändern. 2. Um eine obere Dreiecksmatrix zu erhalten, verwenden wir elementare Zeilenoperationen vom Typ Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen, die die Determinante nicht verändern. 3. Schrittweise Eliminierung: - Erste Spalte: - Zeile 2: $Z_2 \to Z_2 + 2Z_1$ - Zeile 3: $Z_3 \to Z_3 - 2Z_1$ - Zeile 4: $Z_4 \to Z_4 - 2Z_1$ - Zeile 5: $Z_5 \to Z_5 - 2Z_1$ Nach Anwendung: $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & -1 & 2 & 6 & -3 \\ 0 & 2 & -3 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -7 & 11 \\ 0 & 4 & -4 & -10 & 11 \end{pmatrix}$$ - Zweite Spalte: - Zeile 3: $Z_3 \to Z_3 + 2Z_2$ - Zeile 4: $Z_4 \to Z_4 - Z_2$ - Zeile 5: $Z_5 \to Z_5 - 4Z_2$ Nach Anwendung: $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & -1 & 2 & 6 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 11 & -3 \\ 0 & 0 & -1 & -13 & 14 \\ 0 & 0 & 4 & 14 & 23 \end{pmatrix}$$ - Dritte Spalte: - Zeile 4: $Z_4 \to Z_4 + Z_3$ - Zeile 5: $Z_5 \to Z_5 - 4Z_3$ Nach Anwendung: $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & -1 & 2 & 6 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 11 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & -30 & 35 \end{pmatrix}$$ - Vierte Spalte: - Zeile 5: $Z_5 \to Z_5 - 15Z_4$ Nach Anwendung: $$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & -1 & 2 & 6 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 11 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -130 \end{pmatrix}$$ 4. Die Matrix ist nun obere Dreiecksmatrix. (b) Bestimmen Sie den Wert der Determinanten von A. 5. Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente: $$\det(A) = 1 \times (-1) \times 1 \times (-2) \times (-130)$$ 6. Berechnung: $$\det(A) = 1 \times (-1) \times 1 \times (-2) \times (-130) = (-1) \times (-2) \times (-130) = 2 \times (-130) = -260$$ 7. Antwort: Die Determinante von A ist $$\boxed{-260}$$.