1. Diketahui matriks A = $$\begin{bmatrix}5 & 2 & 3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & -4 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & 0\end{bmatrix}$$ Tentukan H1-22-1 (soal tidak jelas, asumsikan soal ingin mencari determinan atau operasi lain, tapi tidak ada instruksi jelas, jadi tidak bisa diselesaikan). Karena soal pertama tidak lengkap atau tidak jelas, kita lanjut ke soal kedua. 2. Carilah invers matriks $$P = \begin{bmatrix}-3 & 4 & 0 \\ 4 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ dengan metode penyapuan (metode Gauss-Jordan). Langkah-langkah: 1. Tuliskan matriks augmented $[P|I]$: $$\left[\begin{array}{ccc|ccc}-3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$ 2. Gunakan operasi baris elementer untuk mengubah bagian kiri menjadi matriks identitas. Langkah 1: Bagi baris 1 dengan $-3$: $$R_1 \to \frac{1}{-3} R_1 = \left[1, -\frac{4}{3}, 0 | -\frac{1}{3}, 0, 0\right]$$ Langkah 2: Hilangkan elemen di bawah pivot (kolom 1): $R_2 \to R_2 - 4 R_1 = \left[0, -2 + \frac{16}{3}, 3 - 0 | 0 + \frac{4}{3}, 1 - 0, 0 - 0\right] = \left[0, \frac{10}{3}, 3 | \frac{4}{3}, 1, 0\right]$ $R_3 \to R_3 - 2 R_1 = \left[0, 1 + \frac{8}{3}, 2 - 0 | 0 + \frac{2}{3}, 0 - 0, 1 - 0\right] = \left[0, \frac{11}{3}, 2 | \frac{2}{3}, 0, 1\right]$ Langkah 3: Bagi baris 2 dengan $\frac{10}{3}$: $$R_2 \to \frac{3}{10} R_2 = \left[0, 1, \frac{9}{10} | \frac{2}{5}, \frac{3}{10}, 0\right]$$ Langkah 4: Hilangkan elemen di atas dan bawah pivot kolom 2: $R_1 \to R_1 + \frac{4}{3} R_2 = \left[1, 0, 0 + \frac{4}{3} \times \frac{9}{10} | -\frac{1}{3} + \frac{4}{3} \times \frac{2}{5}, 0 + \frac{4}{3} \times \frac{3}{10}, 0 + 0\right] = \left[1, 0, \frac{6}{5} | -\frac{1}{3} + \frac{8}{15}, \frac{2}{5}, 0\right] = \left[1, 0, \frac{6}{5} | \frac{1}{15}, \frac{2}{5}, 0\right]$ $R_3 \to R_3 - \frac{11}{3} R_2 = \left[0, 0, 2 - \frac{11}{3} \times \frac{9}{10} | \frac{2}{3} - \frac{11}{3} \times \frac{2}{5}, 0 - \frac{11}{3} \times \frac{3}{10}, 1 - 0\right] = \left[0, 0, 2 - \frac{99}{10} | \frac{2}{3} - \frac{22}{15}, -\frac{11}{10}, 1\right] = \left[0, 0, -\frac{79}{10} | -\frac{8}{15}, -\frac{11}{10}, 1\right]$ Langkah 5: Bagi baris 3 dengan $-\frac{79}{10}$: $$R_3 \to \frac{-10}{79} R_3 = \left[0, 0, 1 | \frac{8}{15} \times \frac{10}{79}, \frac{11}{10} \times \frac{10}{79}, -\frac{10}{79}\right] = \left[0, 0, 1 | \frac{16}{237}, \frac{11}{79}, -\frac{10}{79}\right]$$ Langkah 6: Hilangkan elemen di atas pivot kolom 3: $R_1 \to R_1 - \frac{6}{5} R_3 = \left[1, 0, 0 | \frac{1}{15} - \frac{6}{5} \times \frac{16}{237}, \frac{2}{5} - \frac{6}{5} \times \frac{11}{79}, 0 - \frac{6}{5} \times -\frac{10}{79}\right] = \left[1, 0, 0 | \frac{1}{15} - \frac{96}{1185}, \frac{2}{5} - \frac{66}{395}, \frac{12}{79}\right] = \left[1, 0, 0 | \frac{63}{1185}, \frac{94}{395}, \frac{12}{79}\right]$ $R_2 \to R_2 - \frac{9}{10} R_3 = \left[0, 1, 0 | \frac{2}{5} - \frac{9}{10} \times \frac{16}{237}, \frac{3}{10} - \frac{9}{10} \times \frac{11}{79}, 0 - \frac{9}{10} \times -\frac{10}{79}\right] = \left[0, 1, 0 | \frac{2}{5} - \frac{144}{2370}, \frac{3}{10} - \frac{99}{790}, \frac{9}{79}\right] = \left[0, 1, 0 | \frac{78}{395}, \frac{18}{395}, \frac{9}{79}\right]$ Jadi, invers matriks $P$ adalah: $$P^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{63}{1185} & \frac{94}{395} & \frac{12}{79} \\ \frac{78}{395} & \frac{18}{395} & \frac{9}{79} \\ \frac{16}{237} & \frac{11}{79} & -\frac{10}{79} \end{bmatrix}$$ 3. Tentukan nilai $x,y,z$ yang memenuhi sistem persamaan: $$\begin{cases} -2x + 2y + z = -3 \\ 2x - 3y + 2z = 2 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$$ Langkah-langkah metode eliminasi Gauss: 1. Tuliskan matriks augmented: $$\left[\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 1 & -3 \\ 2 & -3 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \end{array}\right]$$ 2. Tukar baris 1 dan 2 agar pivot lebih mudah: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & 1 & -3 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \end{array}\right]$$ 3. Bagi baris 1 dengan 2: $$R_1 \to \frac{1}{2} R_1 = \left[1, -\frac{3}{2}, 1, 1\right]$$ 4. Hilangkan elemen di bawah pivot kolom 1: $R_2 \to R_2 + R_1 = \left[0, \frac{1}{2}, 2, -2\right]$ $R_3 \to R_3 - 2 R_1 = \left[0, 2, 1, -1\right]$ 5. Bagi baris 2 dengan $\frac{1}{2}$: $$R_2 \to 2 R_2 = \left[0, 1, 4, -4\right]$$ 6. Hilangkan elemen di bawah dan atas pivot kolom 2: $R_3 \to R_3 - 2 R_2 = \left[0, 0, -7, 7\right]$ $R_1 \to R_1 + \frac{3}{2} R_2 = \left[1, 0, 7, -5\right]$ 7. Bagi baris 3 dengan $-7$: $$R_3 \to -\frac{1}{7} R_3 = \left[0, 0, 1, -1\right]$$ 8. Hilangkan elemen di atas pivot kolom 3: $R_1 \to R_1 - 7 R_3 = \left[1, 0, 0, 2\right]$ $R_2 \to R_2 - 4 R_3 = \left[0, 1, 0, 0\right]$ Jadi solusi sistem adalah: $$x = 2, \quad y = 0, \quad z = -1$$